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Explicação passo-a-passo:
Para encontrar os máximos e mínimos da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 2 \), precisamos encontrar sua derivada primeira e igualá-la a zero para identificar os pontos críticos. Então, será possível determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função \( f(x) \):
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x - 24 \]
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
\[ 3x^2 - 6x - 24 = 0 \]
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fazer isso usando a fórmula quadrática:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Onde a = 3, b = -6 e c = -24.
Aplicando a fórmula quadrática, obtemos:
\[ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4*3*(-24)}}{2*3} \]
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 288}}{6} \]
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{324}}{6} \]
\[ x = \frac{6 \pm 18}{6} \]
Portanto, os pontos críticos são \( x_1 = 4 \) e \( x_2 = -2 \).
Agora que temos os pontos críticos, podemos usar o teste da derivada segunda para determinar se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, vamos encontrar a derivada segunda da função:
\[ f''(x) = 6x - 6 \]
Agora, podemos avaliar a concavidade da função nos pontos críticos:
Para \( x = 4 \):
\[ f''(4) = 6*4 - 6 = 18 \]
Como a segunda derivada é positiva, temos um ponto de mínimo local em \( x = 4 \).
Para \( x = -2 \):
\[ f''(-2) = 6*(-2) - 6 = -18 \]
Como a segunda derivada é negativa, temos um ponto de máximo local em \(x = -2\).
Agora que encontramos o ponto de máximo e mínimo, podemos encontrar seus respectivos valores de \( y \) (ou seja, \( f(x) \)).
Para \( x = 4 \):
\[ f(4) = 4^3 - 3*4^2 - 24*4 + 2 = 22 \]
Portanto, o ponto de mínimo é \( (4, 22) \).
Para \( x = -2 \):
\[ f(-2) = (-2)^3 - 3*(-2)^2 - 24*(-2) + 2 = 36 \]
Portanto, o ponto de máximo é \( (-2, 36) \).
Assim, os máximos e mínimos da função \( f(x) \) são \( (-2, 36) \) e \( (4, 22) \).