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Sagot :
Usando propriedades da Radiciação e da Potenciação , obtém-se:
[tex]\Large\text{$~~9^{\frac{2}{3} } =3\sqrt[3]{3}~~ $}[/tex]
A expressão matemática, que é uma potência de expoente fracionário
[tex]\Large\text{$9^{\frac{2}{3} } $}[/tex]
é uma outra forma de escrever um radical
[tex]\Large\text{$9^{\frac{2}{3} } =\sqrt[3]{9^2} $}[/tex]
( regra P.8 no ficheiro em anexo 1 )
Utilizando uma máquina de calcular científica verifica-se que esta transformação dá o mesmo resultado.
[tex]\Large\text{$9^{\frac{2}{3} } =4{,}32674871\dots$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\sqrt[3]{9^2} =4{,}32674871\dots$}[/tex]
Apenas são duas formas de representar o mesmo valor, em Matemática.
A relação entre elas é em geral da forma:
[tex]\boxed{\LARGE\text{$~\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n} } ~$}}[/tex]
Passar de um número na forma de:
- radical
para outro que aparece em
- potência fracionária
torna-se mais fácil pois vai-se multiplicar números que possuem a mesma base.
Exemplo:
[tex]\Large\text{$\sqrt[3]{7^2} \cdot\sqrt[4]{7^3} $}[/tex]
Passando para potências de expoente fracionário:
[tex]\LARGE\text{$\sqrt[3]{7^2} \cdot\sqrt[4]{7^3}=7^{\frac{2}{3} }\cdot 7^{\frac{3}{4} } $}[/tex]
Observação 1
Agora basta usar a regra para multiplicar potências com a mesma base:
- manter a base
- adicionar os expoentes
[tex]\LARGE\text{$7^{\frac{2}{3} }\cdot 7^{\frac{3}{4} } =7^{(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}) } $}[/tex]
Fica bem mais fácil.
Quando no início se fez a transformação
[tex]\Large\text{$9^{\frac{2}{3} } =\sqrt[3]{9^2} $}[/tex]
o radical pode ser simplificado porque
[tex]\Large\text{$9=3^2 $}[/tex]
Fica então
[tex]\Large\text{$\sqrt[3]{(3^2)^2} $}[/tex]
E o radicando é uma potência de potência
( regra P.3 no anexo 1 )
[tex]\Large\text{$\Large\text{$\sqrt[3]{(3^2)^2} $} =\sqrt[3]{3^{2\cdot2} } $}[/tex]
[tex]\Large\text{$\sqrt[3]{3^{2\cdot2} } =\sqrt[3]{3^4} $}[/tex]
Pela Observação 1, mais acima pode-se:
[tex]\Large\text{$3^4=3^3\cdot 3^1 $}[/tex]
Assim
[tex]\Large\text{$\sqrt[3]{3^4} =\sqrt[3]{3^3\cdot3^1} =\sqrt[3]{3^3}\cdot\sqrt[3]{3^1} =3\sqrt[3]{3} $}[/tex]
Ficará:
[tex]\boxed{\boxed{\Large\text{$~~9^{\frac{2}{3} } =3\sqrt[3]{3}~~ $}}}[/tex]
Observação 2
Elementos de um radical
Exemplo:
[tex]\Large\text{$\sqrt[3]{11^5}~~ $}[/tex]
[tex]\large\text{$3$}[/tex] = índice
[tex]\large\text{$11^5$}[/tex] = radicando
[tex]\large\text{$11$}[/tex] = base do radicando
[tex]\large\text{$5$}[/tex] = expoente do radicando
√ = símbolo de radical
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Bons estudos.
Duarte Morgado
( Mestre em Matemática }
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[tex](\cdot)[/tex] multiplicação
Nas minhas respostas , que são originais , mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.
O que eu sei, eu ensino.
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