Utilizando os conceitos de sequências e geometria espacial, conclui-se que [tex]\mathsf{A_{total} = 18 \ u^2}[/tex].
Chama-se progressão geométrica (P.G.) uma sequência dada pela seguinte fórmula de recorrência:
[tex]\mathsf{\begin{cases}\mathsf{a_1 = a}\\\mathsf{a_n = a_{n - 1} \cdot q, \forall n \in \mathbb{N}, n \geqslant 2}\end{cases}}[/tex]
em que [tex]\mathsf{\{a, q\} \subset \mathbb{R}}[/tex].
Em um cubo, se a medida de sua aresta é [tex]\textsf{\textbf{a}}[/tex], então a medida de sua diagonal é de [tex]\mathsf{\textsf{\textbf{a}}\sqrt{3}}[/tex], enquanto que seu volume é igual a [tex]\mathsf{\textsf{\textbf{a}}^3}[/tex].
A questão afirma que as medidas da aresta, da diagonal e do volume de um cubo formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, ou seja, a sequência [tex]\mathsf{(a, a\sqrt{3}, a^3)}[/tex] é uma progressão geométrica.
A condição para que uma sequência de três números formem uma P.G. é a de que o termo central seja a média geométrica entre os outros dois. Desta forma:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow a\sqrt{3} = \sqrt{a \cdot a^3}}\\\mathsf{\Longleftrightarrow a\sqrt{3} = \sqrt{a^4}}\\\mathsf{\Longleftrightarrow a\sqrt{3} = |a^2|}\\\mathsf{\Longleftrightarrow a\sqrt{3} = a^2}\\[/tex]
Resolvendo a equação do segundo grau restante, temos:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow a\sqrt{3} = a^2}\\\mathsf{\Longleftrightarrow a^2 - a\sqrt{3} = 0}\\\mathsf{\Longleftrightarrow a(a - \sqrt{3}) = 0}\\[/tex]
Daí tiramos que:
[tex]\mathsf{a(a - \sqrt{3}) = 0 \Longrightarrow \begin{cases}\mathsf{a = 0}\\\mathsf{ou}\\\mathsf{a - \sqrt{3} = 0 \Longleftrightarrow a = \sqrt{3}}\end{cases}}\\[/tex]
Como [tex]\textsf{\textbf{a}}[/tex] representa a medida de um segmento, é impossível que se tenha [tex]\mathsf{a = 0}[/tex], desta forma concluímos que a medida da aresta do cubo em questão é [tex]\mathsf{a = \sqrt{3} \ u}[/tex].
A questão nos indaga sobre a área total do cubo, que possui fórmula dada por:
[tex]\mathsf{A_{total} = 6a^2}[/tex]
Dos cálculos, [tex]\mathsf{a = \sqrt{3} \ u}[/tex]. Desta forma:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow A_{total} = 6a^2}\\\mathsf{\Longleftrightarrow A_{total} = 6 (\sqrt{3})^2}\\\mathsf{\Longleftrightarrow A_{total} = 6 \cdot 3}\\\\\boxed{\mathsf{\Longleftrightarrow A_{total} = 18 \ u^2}}[/tex]
Desta forma, concluímos que a resposta correta é a letra D.
Para mais conhecimento, acesse:
- brainly.com.br/tarefa/40574131.
