✅ Tarefa (60614793) - Uma vez tendo terminado a resolução dos cálculos, concluímos que a soma dos parâmetros "a" e "b" é:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} a + b = 0\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, a opção correta é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Alternativa~E\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Seja o polinômio paramétrico do terceiro grau em uma variável.
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P(x) = x^3 - x^2 + ax + b\end{gathered}$}[/tex]
Observemos que o polinômio dado possui coeficientes reais e possui como uma de suas raízes o valor "2i". Desta forma, sabemos que seu conjugado também é raiz do polinômio. Desse modo já temos as duas primeiras raízes que são:
[tex]\Large\begin{cases} x_1 = 2i\\x_2 = \overline{2i} = -2i\end{cases}[/tex]
Se o polinômio é de terceiro grau é já conhecemos suas duas primeiras raízes complexas, então a sua terceira raiz será um valor real que poderemos chamar de "r". Dessa forma, as três raízes do polinômio são, respectivamente:
[tex]\Large\begin{cases} x_1 = 2i\\x_2 = -2i\\x_3 = r\end{cases}[/tex]
Agora devemos perceber que o polinômio P(x) é numericamente idêntico ao polinômio Q(x) do terceiro grau formado por suas raízes cujo coeficiente de maior grau é a unidade. Desta forma, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}P(x) & \equiv Q(x)\\x^3 - x^2 + ax + b & \equiv(x - 2i)\cdot(x + 2i)\cdot(x - r)\\x^3 - x^2 + ax + b & \equiv \left[x^2 - (2i)^2\right]\cdot(x - r)\\x^3 - x^2 + ax + b & \equiv \left[ x^2 - 2^2\cdot i^2\right]\cdot(x - r) \\x^3 - x^2 + ax + b & \equiv \left[ x^2 - 2^2\cdot (-1)\right]\cdot(x - r) \\x^3 - x^2 + ax + b & \equiv\left[ x^2 + 4\right]\cdot(x - r)\\x^3 - x^2 + ax + b & \equiv x^3 - rx^2 + 4x - 4r\end{aligned} $}[/tex]
Agora devemos montar e resolver o sistema de equações formado pelas igualdades dos coeficientes de ambos os polinômios. Então, temos:
[tex]\Large\begin{cases} 1 = 1\\-1 = -r\\a =4\\b = -4r\end{cases}[/tex]
Calculando o valor de "r" pela segunda equação do sistema, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}-1 & = -r\\1 & = r\\r & = 1\end{aligned} $}[/tex]
Agora temos os seguintes valores para os parâmetros "a" e "b":
[tex]\Large\begin{cases} a = 4\\b = -4r = -4\cdot1 = -4\end{cases}[/tex]
Portanto, os valores de "a" e "b" são, respectivamente:
[tex]\Large\begin{cases} a = 4\\b = -4\end{cases}[/tex]
Então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} a + b = 4 + (-4) = 4 - 4 = 0\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, a soma dos parâmetros "a" e "b" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} a + b = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
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