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Para resolver a equação 27^(x^2 + 1) = 9^(5x), podemos começar manipulando as bases para que estejam na mesma potência.
27 pode ser reescrito como 3^3 e 9 como 3^2. Substituindo esses valores, a equação se torna:
(3^3)^(x^2 + 1) = (3^2)^(5x)
Usando a propriedade das potências (a^m)^n = a^(m*n), podemos simplificar a equação para:
3^(3(x^2 + 1)) = 3^(2*5x)
Agora, igualamos os expoentes:
3(x^2 + 1) = 10x
Dessa forma, temos uma equação quadrática. Vamos resolver:
3x^2 + 3 = 10x
3x^2 - 10x + 3 = 0
Agora podemos usar a fórmula quadrática para encontrar o valor de x:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Onde a = 3, b = -10 e c = 3. Substituindo na fórmula, temos:
x = (-(-10) ± √((-10)² - 4*3*3)) / (2*3)
x = (10 ± √(100 - 36)) / 6
x = (10 ± √64) / 6
x = (10 ± 8) / 6
Portanto, as soluções para x são:
x₁ = (10 + 8) / 6
x₁ = 18 / 6
x₁ = 3
e
x₂ = (10 - 8) / 6
x₂ = 2 / 6
x₂ ≈ 0.333
Assim, as soluções para x são x = 3 e x ≈ 0.333.