A partir dos devidos cálculos realizados, chegamos na conclusão de que o perímetro do triângulo AOC medem 51 cm. E tendo alternativa correta é a letra D.
Se duas cordas se cortam em um ponto interior a uma circunferência, então o produto das medidas dos dois segmentos de uma delas é igual ao produto das medidas dos segmentos da outra.
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{PA}{PC} = \dfrac{PD}{PB} \implies PA \cdot PB = PC \cdot PD } $ }}[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases}\sf \overline{ AB} = 8 \; cm \\\sf \overline{ AD} = 4 \; cm\\ \sf \overline{ BC} = 9 \; cm \\\sf \overline{ CO} = R \; cm \\\sf \overline{ DO} = R \; cm \\\sf P_{\triangle AOC} = \:?\: cm \end{cases} } $ }[/tex]
Resolução:
Aplicando a propriedade da potência de um ponto:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \overline{ AD} \cdot \overline{AE} = \overline{AB} \cdot \overline{AC} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 4 \cdot (\, 4+2R\, ) = 8 \cdot (\, 8+9 \,) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 16 + 8R = 8 \cdot 17 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 8R = 136 - 16 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{R = \dfrac{120}{8} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ R = 15 \; cm } $ }[/tex]
O perímetro do triângulo AOC, em cm é:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P_{\triangle AOC} = \overline{AD} + \overline{DO } + \overline{CO} + \overline{AB} + \overline{BC} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P_{\triangle AOC} = 4 + R +R +8 + 9 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P_{\triangle AOC} = 4 + 15 +15 +17 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P_{\triangle AOC} = 4 + 30 +17 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P_{\triangle AOC} = 34 +17 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P_{\triangle AOC} = 51 } $ }[/tex]
Portanto, o perímetro do triângulo AOC medem 51 cm.
Alternativa correta é a letra D.
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