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Sagot :
Resposta:
A distância entre o ponto P(2, 1, 4) e a reta r {x= -1 + 2t; y=2 – t; z= 3 – 2t} é de √13 unidades de comprimento.
Explicação passo a passo:
Para calcular a distância entre o ponto P(2, 1, 4) e a reta r no espaço tridimensional, podemos seguir estes passos:
1. Definindo as Equações da Reta r:
A reta r é dada pelas equações paramétricas:
x = -1 + 2t
y = 2 - t
z = 3 - 2t
2. Encontrando o Vetor Diretor da Reta r:
O vetor diretor da reta r pode ser obtido derivando as equações paramétricas em relação ao parâmetro t:
dr/dt = (2, -1, -2)
3. Calculando o Vetor Diferença entre P e um Ponto da Reta r:
Para calcular a distância entre P e um ponto arbitrário da reta r, podemos utilizar o vetor diferença:
dP = P - r(t0)
Onde t0 é um valor arbitrário do parâmetro t. Neste caso, podemos escolher t0 = 0:
dP = (2, 1, 4) - (-1, 2, 3)
dP = (3, -1, 1)
4. Calculando a Norma do Vetor Diferença (Distância):
A distância entre P e um ponto da reta r é dada pela norma do vetor diferença:
distância = ||dP|| = √(3² + (-1)² + 1²) = √13
5. Observações:
A distância calculada representa a distância entre o ponto P e qualquer ponto da reta r.
A geometria espacial nos permite concluir que a distância entre um ponto e uma reta no espaço é sempre a menor distância entre o ponto e qualquer ponto da reta.
Conclusão:
A distância entre o ponto P(2, 1, 4) e a reta r {x= -1 + 2t; y=2 – t; z= 3 – 2t} é de √13 unidades de comprimento.
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