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Sagot :
Resposta:
Para resolver o sistema de equações lineares utilizando o método de adição, seguiremos os seguintes passos:
### Sistema de Equações
\[
\begin{cases}
x - 2y - 2z = -1 \quad \text{(1)} \\
x - y + z = -2 \quad \text{(2)} \\
2x + y + 3z = 1 \quad \text{(3)}
\end{cases}
\]
### Passo 1: Eliminar uma variável
Primeiro, vamos eliminar a variável \(x\) entre as equações (1) e (2). Subtraímos a equação (2) da equação (1):
\[
(x - 2y - 2z) - (x - y + z) = -1 - (-2)
\]
Simplificando:
\[
x - 2y - 2z - x + y - z = 1
\]
\[
- y - 3z = 1 \quad \text{(4)}
\]
Agora, vamos eliminar \(x\) entre as equações (2) e (3). Subtraímos a equação (2) multiplicada por 2 da equação (3):
\[
2x + y + 3z - 2(x - y + z) = 1 - 2(-2)
\]
Simplificando:
\[
2x + y + 3z - 2x + 2y - 2z = 1 + 4
\]
\[
3y + z = 5 \quad \text{(5)}
\]
### Passo 2: Resolver o sistema reduzido
Agora temos o sistema reduzido:
\[
\begin{cases}
- y - 3z = 1 \quad \text{(4)} \\
3y + z = 5 \quad \text{(5)}
\end{cases}
\]
Vamos multiplicar a equação (5) por 3 para alinhar os coeficientes de \(z\):
\[
9y + 3z = 15 \quad \text{(6)}
\]
Agora, somamos as equações (4) e (6):
\[
(- y - 3z) + (9y + 3z) = 1 + 15
\]
Simplificando:
\[
8y = 16
\]
\[
y = 2
\]
### Passo 3: Encontrar \(z\)
Substituímos \(y = 2\) na equação (5):
\[
3(2) + z = 5
\]
\[
6 + z = 5
\]
\[
z = -1
\]
### Passo 4: Encontrar \(x\)
Finalmente, substituímos \(y = 2\) e \(z = -1\) em uma das equações originais, por exemplo, na equação (2):
\[
x - y + z = -2
\]
\[
x - 2 + (-1) = -2
\]
\[
x - 3 = -2
\]
\[
x = 1
\]
### Solução do Sistema
A solução do sistema é:
\[
(x, y, z) = (1, 2, -1)
\]
### Verificação
Vamos verificar a solução substituindo os valores nas equações originais:
1. \( x - 2y - 2z = -1 \)
\[
1 - 2(2) - 2(-1) = 1 - 4 + 2 = -1
\]
2. \( x - y + z = -2 \)
\[
1 - 2 + (-1) = 1 - 2 - 1 = -2
\]
3. \( 2x + y + 3z = 1 \)
\[
2(1) + 2 + 3(-1) = 2 + 2 - 3 = 1
\]
A solução \((1, 2, -1)\) satisfaz todas as equações originais, portanto está correta.
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