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Analisando o Valor da Ação ao Longo do Ano (t):
Para avaliar o valor da ação (v) ao longo do ano (t), expresso pela fórmula v = 2t² - 20t + 60, vamos analisar cada alternativa:
a) O valor da ação terá um único máximo no intervalo 0 ≤ t ≤ 12:
Verificação:
Encontrar o vértice da parábola:
Derivar a função v = 2t² - 20t + 60 em relação a t: v'(t) = 4t - 20
Igualar v'(t) a 0 e resolver para t: 4t - 20 = 0 => t = 5
Substituir t = 5 na função v(t): v(5) = 2(5²) - 20(5) + 60 = 50
Analisar o sinal de v'(t) antes e depois de t = 5:
t < 5: v'(t) = 4t - 20 < 0 (parábola voltada para baixo)
t > 5: v'(t) = 4t - 20 > 0 (parábola voltada para cima)
Conclusão:
A função v(t) possui um único máximo em t = 5, com valor v(5) = 50. Portanto, a alternativa a) está correta.
b) O valor da ação terá um único mínimo no intervalo 0 ≤ t ≤ 12:
Verificação:
Analisar o sinal de v'(t) em todo o intervalo:
v'(t) = 4t - 20
v'(t) = 0 quando t = 5
Como v'(t) é um polinômio de primeiro grau, ele nunca assume o valor indefinido.
Conclusões:
Como v'(t) não assume valor indefinido e v'(5) = 0, a função não possui pontos de inflexão no intervalo.
A função pode ter no máximo um ponto de mínimo.
Analisando o vértice da parábola:
Como já vimos na alternativa a), o vértice da parábola é um ponto de máximo, não de mínimo.
Conclusão:
A função v(t) não possui ponto de mínimo no intervalo 0 ≤ t ≤ 12. Portanto, a alternativa b) está incorreta.
c) O valor da ação terá três máximos e dois mínimos no intervalo 0 ≤ t ≤ 12:
Verificação:
Analisar o número de raízes da função v'(t) = 0:
v'(t) = 4t - 20 = 0 => t = 5
A função v'(t) possui apenas uma raiz (t = 5).
Conclusões:
Como a função v'(t) é um polinômio de primeiro grau, ela não possui raízes complexas.
O número máximo de pontos de extrema (máximos e mínimos) é igual ao número de raízes da função derivada mais 1.
Analisando o vértice da parábola:
Já vimos na alternativa a) que o vértice da parábola é um ponto de máximo.
Conclusão:
A função v(t) possui uma raiz (t = 5) e um ponto de máximo (t = 5). Portanto, a função não pode ter três máximos e dois mínimos. A alternativa c) está incorreta.
d) O valor da ação terá um valor constante ao longo do ano:
Verificação:
Analisar o grau da função v(t):
O grau da função v(t) é 2, o que significa que o valor da ação não é constante.
Conclusão:
Como a função v(t) é de segundo grau, ela não pode ter um valor constante. A alternativa d) está incorreta.
e) O valor da ação terá um mínimo absoluto no intervalo 0 ≤ t ≤ 12: