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Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de pontos formados pela função [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf f(\,x\,) = \sqrt{x-3} $ }[/tex] e o eixo x, para 4 ≤ x ≤ 7.
Após a realização dos cálculos fornecidos pelo enunciado concluímos que:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ V = \dfrac{15\, \pi }{2} } $ }[/tex]
A superfície de revolução é formada quando a curva é rotacionada em torno do eixo-x ou eixo-y.
O volume V( S ) de S pode ser calculado como
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ V(\,S \,) = \pi \, \int^b_a [ \,f ( x) \,]^2 \;dx } $ }}[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf V = \:? \\ \sf f(\, x\,) = \sqrt{x-3} \\ \sf 4\leq x \leq 7 \end{cases} } $ }[/tex]
Resolução:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ V = \pi \int\limits^7_4 \,\left (\,\sqrt{x-3} \, \right)^2 \; dx } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ V = \pi \int\limits^7_4 \, (\, x-3\,)\; dx } $ }[/tex]
Resolvendo pela integração indefinida, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int (\, x-3\,)\; dx = \int x\, dx - \int 3 \, dx } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int (\, x-3\,)\; dx = \int x\, dx -\, 3 \int dx } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int (\, x-3\,)\; dx = \dfrac{x^{2} }{2} -\, 3 x + C } $ }[/tex]
Agora usando a integral definida, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int\limits^7_4 (\, x-3\,) \, dx = \dfrac{x^2}{2} \Bigg|^7_4 - 3 x \bigg|^7_4 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int\limits^7_4 (\, x-3\,) \, dx = \left[ \dfrac{7^2 - 4^{2} }{2} \right] - [ 3 \cdot 7 -3\cdot 4] } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int\limits^7_4 (\, x-3\,) \, dx = \left[ \dfrac{49 - 16 }{2} \right] - [ 21 -12] } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int\limits^7_4 (\, x-3\,) \, dx = \dfrac{33 }{2} - 9 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int\limits^7_4 (\, x-3\,) \, dx = \dfrac{33 }{2} - \dfrac{18}{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int\limits^7_4 (\, x-3\,) \, dx = \dfrac{15 }{2} } $ }[/tex]
Voltando na expressão do volume, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ V = \pi \int\limits^7_4 \,\left (\,\sqrt{x-3} \, \right)^2 \; dx } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ V = \pi \cdot \dfrac{15}{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ V = \dfrac{15\; \pi }{2} } $ }[/tex]
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O volume do sólido é 15⋅π/2.
[tex]\Large \text {$\sf V= \pi \displaystyle \int _a ^{b} \left[f(x)\right]^2 dx $}[/tex]
[tex]\large \text {$\sf f(x) = \sqrt{x-3} $}[/tex]
[tex]\large \text {$\sf [f(x)]^2 =x-3 $}[/tex]
[tex]\Large \text {$\sf V= \pi \displaystyle \int _a ^{b} \left[f(x)\right]^2 dx $}[/tex]
[tex]\large \text {$\sf V= \pi \displaystyle \int _4 ^{7} (x-3) dx $}[/tex]
[tex]\large \text {$\sf V= \pi \left[\dfrac{x^2}{2}-3x \right]_4^7 $}[/tex]
[tex]\large \text {$\sf V= \pi \left[\left(\dfrac{7^2}{2}-3\cdot7\right)-\left(\dfrac{4^2}{2}-3\cdot 4\right) \right] $}[/tex]
[tex]\large \text {$\sf V= \pi \left[\left(\dfrac{49}{2}-21\right)-\left(\dfrac{16}{2}-12\right) \right] $}[/tex]
[tex]\large \text {$\sf V= \pi \left[\dfrac{7}{2}-\left(-4\right) \right] $}[/tex]
[tex]\large \text {$\sf V= \dfrac{15}{2}\pi $}[/tex]
✅ O volume do sólido é 15⋅π/2.
