Vamos resolver a equação dada: \( x' - 4x + 5 - m = 0 \), sabendo que \( m = 5 \).
Primeiro, substituímos \( m \) na equação:
\[ x' - 4x + 5 - 5 = 0 \]
Simplificando a equação:
\[ x' - 4x = 0 \]
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolver essa equação utilizando o fator integrante. A forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem é:
\[ x' + P(x)x = Q(x) \]
No nosso caso, temos:
\[ P(x) = -4 \]
\[ Q(x) = 0 \]
O fator integrante \( \mu(x) \) é dado por:
\[ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int -4 \, dx} = e^{-4x} \]
Multiplicamos ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante:
\[ e^{-4x}x' - 4e^{-4x}x = 0 \]
Reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto \( e^{-4x}x \):
\[ \frac{d}{dx}(e^{-4x}x) = 0 \]
Integrando ambos os lados em relação a \( x \):
\[ e^{-4x}x = C \]
Onde \( C \) é a constante de integração. Para encontrar a solução geral, isolamos \( x \):
\[ x = Ce^{4x} \]
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
\[ x = Ce^{4x} \]
Onde \( C \) é uma constante arbitrária.
