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Num poliedro convexo o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces desse poliedro.

Sagot :

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Para calcular o número de faces (F) em um poliedro convexo onde o número de arestas (A) excede o número de vértices (V) em 6 unidades, podemos utilizar a Relação de Euler, uma fórmula matemática que relaciona esses três elementos:

  • V - A + F = 2

Substituindo os valores fornecidos na questão:

  • V: Número de vértices (desconhecido)
  • A: Número de arestas = V + 6
  • F: Número de faces (desconhecido)

Temos:

  • V - (V + 6) + F = 2

Simplificando a equação:

  • -6 + F = 2
  • F = 2 + 6
  • F = 8

Portanto, o número de faces do poliedro convexo é 8.

Explicação da Relação de Euler: A Relação de Euler é válida apenas para poliedros convexos, ou seja, aqueles em que qualquer aresta conecta dois vértices que estão no interior do poliedro. A fórmula se baseia na ideia de que cada aresta pertence a duas faces e cada vértice é conectado por um número par de arestas.

Exemplo: Imagine um cubo, um poliedro convexo com 8 vértices, 12 arestas e 6 faces. Cada aresta do cubo pertence a duas faces (por exemplo, a aresta que conecta o vértice A ao vértice B pertence à face ABCD e à face ABFE). Cada vértice do cubo é conectado por 3 arestas (por exemplo, o vértice A é conectado às arestas AB, AC e AD).

Ao aplicar a Relação de Euler neste exemplo:

  • V - A + F = 2
  • 8 - 12 + 6 = 2
  • 2 = 2

A equação se confirma, demonstrando que a Relação de Euler é válida para o cubo e para outros poliedros convexos.

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