Usando a Fórmula do Binómio discriminante, bem como a Fórmula Resolutiva, obtém-se:
a)
Binómio discriminante = 0
raiz = - 7
( ver gráfico anexo 3 )
b)
Binómio discriminante = 36
raízes y = 12 ou y = 6
( ver gráfico anexo 4 )
c)
Binómio discriminante = 16
raízes t = 1 ou t = -3
( ver gráfico anexo 5 )
O Binómio discriminante é dado por:
[tex]\Large\text{$\Delta=b^2-4ac$}[/tex]
( ver anexo 2 )
E conforme os valores que toma sabe-se, sem calcular nada quantas raízes tem e de que tipo.
Repare-se:
[tex]\Large \sf Se\begin {cases}\Delta = 0 \quad \text {\sf H\'a duas ra\'izes reais e iguais} \\\Delta > 0 \quad \text {\sf H\'a duas ra\'izes reais e distintas} \\\Delta < 0 \quad \text {\sf N\~ao h\'a ra\'izes reais}\end {cases}[/tex]
a)
[tex]\Large\text{$x^2+14x+49=0$}[/tex]
Recolher informação
[tex]\Large\text{$a=1$}[/tex]
[tex]\Large\text{$b=14$}[/tex]
[tex]\Large\text{$c=49$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\Delta=14^2-4\cdot 1\cdot 49=196-196=0$}[/tex]
Vai ter uma única raiz a que se chama dupla.
Podia-se resolver pela Fórmula Resolutiva ( Bhaskara ).
Mas repare-se como com pequenas alterações vai aparecer um produto notável.
[tex]\Large\text{$x^2+14x+49=0$}[/tex]
[tex]\Large\text{$x^2+2\cdot x\cdot 7+7^2=0$}[/tex]
No primeiro membro está o desenvolvimento de :
[tex]\Large\text{$(x+7)^2=0$}[/tex]
(ver anexo 1 )
Assim rapidamente se encontra a raiz.
[tex]\Large\text{$(x+7)\cdot (x+7)=0$}[/tex]
Esta transformação pela definição de potência.
Aplicando a Lei do Anulamento de um Produto
[tex]\Large\text{$(x+7)=0~~~~~~~ou~~~~~~~ (x+7)=0$}[/tex]
[tex]\Large\text{$x=-7~~~~~~~ou~~~~~~~ x=-7$}[/tex]
( repare-se que embora tendo um único valor, ele aparece duas vezes logo raiz dupla )
b)
[tex]\Large\text{$y^2-18y+72=0$}[/tex]
[tex]\Large\text{$a=1$}[/tex]
[tex]\Large\text{$b=-18$}[/tex]
[tex]\Large\text{$c=72$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\boxed{\Delta}=(-18)^2-4\cdot 1\cdot72=324-288=\boxed{36}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\sqrt{\Delta}=\sqrt{36} =6 $}[/tex]
Vai-se calcular as duas raízes distintas com a Fórmula Resolutiva
[tex]\Large\text{$ \sf x = \dfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$}[/tex] ou [tex]\Large\text{$ \sf x = \dfrac{-b \pm \sqrt {\Delta}}{2a}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf y_{1} = \dfrac{-(-18) + 6}{2\cdot 1}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf y_{1} = \dfrac{+18 + 6}{2}$}[/tex]
[tex]\boxed{\Large\text{$ \sf y_{1} = 12$}}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf y_{2} = \dfrac{18 - 6}{2\cdot 1}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf y_{2} = \dfrac{12}{2}$}[/tex]
[tex]\boxed{\Large\text{$ \sf y_{2} = 6$}}[/tex]
c)
[tex]\Large\text{$t^2+2t-3=0$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\boxed{\Delta}=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12 =\boxed{16}$}[/tex]
Encontrar raízes
[tex]\Large\text{$ \sf t_{1} = \dfrac{-2 +4}{2\cdot1}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf t_{1} = \dfrac{+2}{2}$}[/tex]
[tex]\boxed{\Large\text{$ \sf t_{1} = 1$}}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf t_{2} = \dfrac{-2 -4}{2\cdot1}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf t_{2} = \dfrac{-6}{2}$}[/tex]
[tex]\boxed{\Large\text{$ \sf t_{2} = -3$}}[/tex]
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Bons estudos.
Duarte Morgado
( Mestre em Matemática }
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[tex](\cdot)[/tex] multiplicação
Nas minhas respostas , que são originais , mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.
O que eu sei, eu ensino.
