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Resposta:
O valor de log₃(8,1) é aproximadamente 1,904.
Explicação passo-a-passo:
Para nós iniciarmos a resolução da Tarefa, primeiramente nós iremos passar o número decimal 8,1 para a forma fracionária:
[tex] 8,1 = \dfrac{8,1 \times 10}{10} = \dfrac{81}{10} [/tex]
Assim, nós teremos:
[tex] log_{3}(8,1) = log_{3} \left( \dfrac{81}{10} \right) [/tex]
A seguir, nós aplicamos a propriedade logarítmica "logaritmo da divisão"
[tex] log_{3}\left(\dfrac{81}{10}\right) = log_{3}(81) - log_{3}(10) [/tex]
Se nós nos lembrarmos da relação entre a função logarítmica e a função exponencial, nós teremos condições de determinar o valor de logaritmo de 81 na base 3.
Vejamos:
[tex]{a}^{b} = c \longleftrightarrow log_{a}(c) = b[/tex]
Realizando a fatoração de 81, nós teremos:
[tex]81 \div 3 = 27 \\ 27 \div 3 = 9 \\ 9 \div 3 = 3 \\ 3 \div 3 = 1 \\ 81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \\ 81 = {3}^{4} [/tex]
Portanto:
[tex]{3}^{4} = 81 \longleftrightarrow log_{3}(81) = 4[/tex]
Assim, nós teremos:
[tex]log_{3} \left( \dfrac{81}{10} \right) = log_{3}(81) - log_{3}(10) = 4 - log_{3}(10) [/tex]
Para nós podermos concluir o exercício, nós devemos fazer a mudança de base: passar o logaritmo de 10 na base 3 para o logaritmo de 3 na base 10.
Vejamos:
[tex]log_{3}(10) = \dfrac{ log_{10}(10) }{ log_{3}(10) } [/tex]
Por definição, nós sabemos que o valor do logaritmo de 10 na base 10 é igual a 1.
Desta forma:
[tex] log_{3}(10) = \dfrac{1}{ log_{10}(3) } [/tex]
Consultando uma calculadora científica, nós vamos obter o valor de logaritmo de 3 na base 10, com a aproximação de três casas decimais:
[tex] log_{10}(3) = 0,477 [/tex]
Portanto:
[tex] log_{3}(10) = \dfrac{1}{0,477} = 2,0964360587 \ldots \approx 2,096 [/tex]
Agora, vamos finalizar a Tarefa:
[tex] log_{3}(8,1) = 4 - 2,096 = 1,904 [/tex]