Com os devidos cálculos podemos concluir que o perímetro é igual a 5.
Para resolver este problema, podemos usar a propriedade do termo médio em uma progressão aritmética. De acordo com a propriedade:
[tex]\Large \text{$ \sf \Large \boxed{\text{$\sf TM\Longrightarrow a_n=\dfrac{(a_{n+1}+a_{n-1})}{2}$ }} $}[/tex]
- Dada uma sequência numérica com três termos.
- Verique se os três números estão em uma progressão aritmética.
- Se sim, o número do meio é igual à média dos outros dois.
Dado que os lados AB, BC e CA formam uma progressão aritmética ( 2x; x+1; 3x) podemos escrever a equação:
[tex]\Large \text{$ \sf \Large \text{$\sf \overline{BC}=\dfrac{\overline{AB}+\overline{CA}}{2}$ } $}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf x + 1 =\dfrac{ (2x + 3x)}{2} $}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf x + 1 = \dfrac{5x}{2} $}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf 2x + 2 = 5x $}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf 2 = 3x $}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf \boxed{\sf x = \dfrac{2}{3}} $}[/tex]
Agora que sabemos o valor de x, podemos encontrar as medidas dos lados AB, BC e CA:
[tex]\Large \text{$ \sf \overline{AB}= 2x =\dfrac{ 4}{3} $}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf \overline{BC }= x + 1 =\dfrac{ 5}{3} $}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf \overline{CA}= 3x = 2 $}[/tex]
O perímetro do triângulo é a soma das medidas dos lados:
[tex]\Large \text{$ \sf P=\dfrac{4}{3} + \dfrac{5}{3}+ 2 $}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf P =\dfrac{9}{3} + 2 $}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf P=5 $}[/tex]
Ou seja, o perímetro é igual a 5. A resposta correta, portanto, é a letra (A).
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