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Sagot :
Para resolver o problema, precisamos entender como o volume do recipiente e do líquido mudam com o aquecimento. Primeiro, devemos definir o coeficiente de dilatação volumétrico aparente (\(\beta_a\)) do líquido, que é a medida da mudança de volume do líquido em relação ao aumento de temperatura, levando em consideração a dilatação do recipiente.
O processo é o seguinte:
1. **Determine o volume inicial do recipiente e do líquido**: Ambos são inicialmente de \( V_0 = 1000 \, \text{cm}^3 \).
2. **Calcule o volume do recipiente após o aquecimento**:
O volume do recipiente aumenta devido ao aquecimento. A nova temperatura é 200°C.
3. **Determine o volume do líquido transbordado**: Quando o líquido aquece, ele se expande e, consequentemente, 200 cm³ do líquido transbordam.
4. **Calcule o novo volume do recipiente**:
\[
V_r = V_0 (1 + \beta_r \Delta T)
\]
onde \( \beta_r \) é o coeficiente de dilatação volumétrico do material do recipiente e \( \Delta T = 200 \, \text{°C} \).
5. **Determine o volume do líquido antes de transbordar**:
\[
V_l = V_0 + 200
\]
onde \( V_l \) é o volume total do líquido após o aquecimento.
6. **Calcule o coeficiente de dilatação volumétrico aparente do líquido (\(\beta_a\))**:
\[
V_l = V_0 (1 + \beta_a \Delta T)
\]
Primeiro, reorganizamos a equação para encontrar \(\beta_a\):
\[
\beta_a = \frac{V_l - V_0}{V_0 \Delta T}
\]
Substituímos os valores conhecidos:
\[
V_l = 1000 + 200 = 1200 \, \text{cm}^3
\]
\[
\beta_a = \frac{1200 - 1000}{1000 \times 200}
\]
Agora, realizamos os cálculos:
\[
\beta_a = \frac{200}{200000}
\]
\[
\beta_a = \frac{1}{1000}
\]
\[
\beta_a = 0.001 \, \text{°C}^{-1}
\]
Portanto, o coeficiente de dilatação volumétrico aparente do líquido é \( 0.001 \, \text{°C}^{-1} \).
O processo é o seguinte:
1. **Determine o volume inicial do recipiente e do líquido**: Ambos são inicialmente de \( V_0 = 1000 \, \text{cm}^3 \).
2. **Calcule o volume do recipiente após o aquecimento**:
O volume do recipiente aumenta devido ao aquecimento. A nova temperatura é 200°C.
3. **Determine o volume do líquido transbordado**: Quando o líquido aquece, ele se expande e, consequentemente, 200 cm³ do líquido transbordam.
4. **Calcule o novo volume do recipiente**:
\[
V_r = V_0 (1 + \beta_r \Delta T)
\]
onde \( \beta_r \) é o coeficiente de dilatação volumétrico do material do recipiente e \( \Delta T = 200 \, \text{°C} \).
5. **Determine o volume do líquido antes de transbordar**:
\[
V_l = V_0 + 200
\]
onde \( V_l \) é o volume total do líquido após o aquecimento.
6. **Calcule o coeficiente de dilatação volumétrico aparente do líquido (\(\beta_a\))**:
\[
V_l = V_0 (1 + \beta_a \Delta T)
\]
Primeiro, reorganizamos a equação para encontrar \(\beta_a\):
\[
\beta_a = \frac{V_l - V_0}{V_0 \Delta T}
\]
Substituímos os valores conhecidos:
\[
V_l = 1000 + 200 = 1200 \, \text{cm}^3
\]
\[
\beta_a = \frac{1200 - 1000}{1000 \times 200}
\]
Agora, realizamos os cálculos:
\[
\beta_a = \frac{200}{200000}
\]
\[
\beta_a = \frac{1}{1000}
\]
\[
\beta_a = 0.001 \, \text{°C}^{-1}
\]
Portanto, o coeficiente de dilatação volumétrico aparente do líquido é \( 0.001 \, \text{°C}^{-1} \).
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