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Resolução do problema de triângulos semelhantes:
1. Análise da Informação:
Dois triângulos são semelhantes (T1 e T2).
Os perímetros dos triângulos são P1 = 12 cm e P2 = 24 cm.
A área do triângulo T2 (A2) é 20 cm².
A pergunta busca a área do triângulo T1 (A1).
2. Relação entre perímetros e lados em triângulos semelhantes:
Em triângulos semelhantes, a razão entre os perímetros é igual à razão entre os lados correspondentes. Ou seja, se k é a constante de proporcionalidade entre os lados, podemos escrever:
P1 / P2 = (lado T1) / (lado T2) = k
3. Relação entre áreas em triângulos semelhantes:
Em triângulos semelhantes, a razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão entre os lados correspondentes. Ou seja:
A1 / A2 = (lado T1)² / (lado T2)² = k²
4. Estratégia de Resolução:
Encontrar a razão entre os lados dos triângulos (k) usando a relação entre perímetros.
Substituir k e A2 na relação entre áreas para encontrar A1.
5. Solução Detalhada:
a) Encontrar a razão entre os lados (k):
P1 / P2 = 12 cm / 24 cm = 1/2
b) Encontrar a área do triângulo T1 (A1):
A1 / A2 = k² = (1/2)² = 1/4
A1 = (1/4) * A2 = (1/4) * 20 cm² = 5 cm²
6. Resposta:
A área do triângulo T1 (A1) é 5 cm². A alternativa correta é a (B).
7. Explicação das alternativas incorretas:
(A) 3 cm²: Essa área é menor que a proporcionalidade esperada (1/4) da área de T2.
(C) 6 cm²: Essa área é um pouco maior que a proporcionalidade esperada (1/4) da área de T2.
(D) 10 cm²: Essa área é duas vezes maior que a proporcionalidade esperada (1/4) da área de T2.
8. Observações:
Este problema demonstra como a relação entre perímetros e áreas em triângulos semelhantes pode ser usada para determinar medidas desconhecidas.
É importante lembrar que a semelhança entre triângulos garante a proporcionalidade entre seus lados e, consequentemente, entre suas áreas.