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(Tarefa—60735460)
Após a realização dos cálculos✍️,podemos concluir mediante ao conhecimento de função quadrática que a resposta é letra c.✅
Qual é a área máxima de um retângulo cujo perímetro é 40 metros?
a) 81 m²
b) 90 m²
c)100 m²
d)120 m²
Chama-se função quadrática a toda função definida pela lei f(x)=ax²+bx+c, onde a,b,c ∈ ℝ com a≠ 0.
O gráfico de uma função quadrática é uma curva que se chama parábola.
se a>0 a função admite um valor mínimo e um ponto de mínimo e se a<0 admite um valor máximo e um ponto de máximo.
O máximo ou mínimo de uma função quadrática vai depender do eixo de simetria ou coordenadas do vértice desta função. Dada a função
[tex]\rm f(x)=ax^2+bx+c[/tex] definimos o vértice desta função e representamos pela letra V o ponto cujas coordenadas são [tex]\rm V(x_{_V},y_{_V})[/tex] onde
[tex]\large\boxed{\begin{array}{l}\rm x_{_V}=-\dfrac{b}{2a}\\\\\rm y_{_V}=-\dfrac{\Delta}{4a}\\\\\rm\Delta=b^2-4ac\end{array}}[/tex]
O conjunto imagem vai depender do valor máximo ou mínimo da função.
Dado um retângulo de comprimento c e largura l o perímetro 2p deste retângulo é dado por
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf 2p=2\cdot(c+l)\end{array}}}[/tex]
A área do retângulo de comrpimento c e largura l é dada por
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf A=c\cdot l\end{array}}}[/tex]
Aqui vamos chamar de c o comprimento e de l a largura deste retângulo. Como o exercício nos diz que o perímetro vale 40 m podemos escrever:
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf 2p=2\cdot(c+l)\\\sf 40=2\cdot(c+l)\\\sf c+l=\dfrac{40}{2}\\\\\sf c+l=20\\\sf l=20-c\end{array}}}[/tex]
Agora vamos utilizar a definição de área do retângulo em conjunto com o máximo e mínimo de funções quadráticas:
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf A(c)=c\cdot l\\\sf A(c)=c\cdot(20-c)\\\sf A(c)=20c-c^2\end{array}}}[/tex]
O valor máximo ocorre na coodenada do vértice em Y. Calculando o determinante e substituindo temos:
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf \Delta=b^2-4ac\\\sf\Delta=(-20)^2-4\cdot(-1)\cdot0\\\sf\Delta=400\\\\\sf y_{_V}=-\dfrac{\Delta}{4a}\\\\\sf y_{_V}=-\dfrac{400}{4\cdot(-1)}\\\\\sf y_{_V}=\dfrac{400}{4}\\\\\sf y_{_V}=100\,m^2\end{array}}}[/tex]
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