Para encontrar o resto da divisão do polinômio \( A = (a-1)^2 \cdot (a^3 - 1) \) por \( a^2 - 3a - 1 \), podemos utilizar o Teorema do Resto. O Teorema do Resto afirma que o resto da divisão de um polinômio \( P(a) \) por \( (a - r) \) é \( P(r) \).
Primeiro, vamos encontrar \( A(a) \) dividido por \( a^2 - 3a - 1 \):
1. **Simplificação do polinômio A:**
\[
A = (a-1)^2 \cdot (a^3 - 1)
\]
Expandindo \( (a-1)^2 \):
\[
(a-1)^2 = a^2 - 2a + 1
\]
Então,
\[
A = (a^2 - 2a + 1) \cdot (a^3 - 1)
\]
Agora, expandindo \( (a^2 - 2a + 1)(a^3 - 1) \):
\[
(a^2 - 2a + 1)(a^3 - 1) = a^5 - 2a^4 + a^3 - a^3 + 2a^2 - 1
\]
\[
= a^5 - 2a^4 + 2a^2 - 1
\]
2. **Divisão por \( a^2 - 3a - 1 \):**
Queremos encontrar \( A(a) \mod (a^2 - 3a - 1) \), ou seja, o resto \( R(a) \).
Como \( A(a) = a^5 - 2a^4 + 2a^2 - 1 \), vamos encontrar \( R(a) \) usando a divisão polinomial:
Dividindo \( a^5 - 2a^4 + 2a^2 - 1 \) por \( a^2 - 3a - 1 \):
\[
\begin{array}{r|rr}
& a^3 - 2a^2 + 2 & -3a + 6 \\
\hline
a^2 - 3a - 1 & a^5 - 2a^4 + 2a^2 - 1 \\
& (a^5 - 3a^4 - a^3) \\
& \quad + a^4 - 2a^3 - 2a^2 \\
& \quad - a^4 + 3a^3 + a^2 \\
& \quad + a^3 - 2a^2 - 2a \\
& \quad - a^3 + 3a^2 + a \\
& \quad + a^2 - 2a - 1 \\
& \quad - a^2 + 3a + 1 \\
& \quad - 5a - 2 \\
\end{array}
\]
