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Uma função f de R em R é função quadrática ou do 2° grau se, a cada x ∈ R, associa o elemento ( ax² + bx + c ) ∈ R, com a R*, b ∈ R e C ∈ R:
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f(\, x \,) = x^{2} -4x + 3 } $ }[/tex]
Resolução:
a) A sua raízes;
Fazendo f(x) = 0, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x^{2} -4x + 3 = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x= \dfrac{-\,b \pm \sqrt{b^{2} -\, 4ac } }{2a} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x= \dfrac{-\,(-4) \pm \sqrt{(-4)^{2} -\, 4 \cdot 1 \cdot 3 } }{2\cdot 1} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x= \dfrac{4 \pm \sqrt{ 16 -\,12} }{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x= \dfrac{4 \pm \sqrt{ 4} }{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x= \dfrac{4 \pm 2 }{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x= \dfrac{4 \pm 2 }{2} \Rightarrow\begin{cases} \sf x_1 = &\sf \dfrac{4 + 2}{2} = \dfrac{6}{2} = \:3 \\\\ \sf x_2 = &\sf \dfrac{4 - 2}{2} = \dfrac{2}{2} =\; 1\end{cases} } $ }[/tex]
Portanto, os valores de x que fazem f(x) = 0 são x = 3 e x = 1.
b) As coordenadas do vértice da parábola;
Calculo da abscissa do vértice:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x_V = -\;\dfrac{b}{2a} \implies x_V = -\, \dfrac{(-\,4)}{2 \cdot 1} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{x_V = \dfrac{4}{2} \implies x_V = 2 } $ }[/tex]
Calculo da ordenada do vértice:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{y_V = -\, \dfrac{\Delta }{2a} \implies y_V = -\; \dfrac{4}{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y_V = -\; 1 } $ }[/tex]
Logo, 0 vértice e V( 2, - 1 ).
c) o gráfico;
A figura anexo.
d) Se a função admite valor máximo ou minimo e calcule esse valor;
Como a = 1 > 0, a função admite um valor minimo que ocorre para x = 1. Esse valor minimo é - 1.
e) O conjunto imagem;
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ Im( \, f \,) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y \geq -\, 1 \} } $ }[/tex]
f) Para que valores de x é crescente a função;
A função é crescente no intervalo { x ∈ R | x ≥ 2 }
g) Para que valores de x é decrescente a função.
A função é decrescente no intervalo { x ∈ R | x ≤ 2 }
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