Na matemática, a demonstração por exaustão serve como uma ferramenta poderosa para validar proposições que abrangem um amplo conjunto de elementos, como os números inteiros. Considere que para todo m e Z, m2 ≥ m. Demonstrando por exaustão, julgue os itens a seguir:
1. A demonstração será dividida em três diferentes. Note que 'Para todos x E Z, também pode ser escrito como 'Para x e Z' onde Z é o conjunto de inteiros:
Z = (..., -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}
Consideramos os casos m ≥ 1, m = 0 e m ≤ -1 separadamente.
II. Caso m ≥ 1:
Podemos multiplicar ambos os lados dessa desigualdade por m e uma vez que m não afe
direção da desigualdade e temos m? ≥ m como necessário para m ≥ 1.
III. Caso m = 0:
Para m = 0, m e m são ambos 0 e, assim, a desigualdade da afirmação, como também inclui igualdade, também vale para m = 0.
IV. Caso m ≤ -1:
Sem ≤ -1, ou seja, m é um número negativo, m- será um número positivo.
V. e nós novamente temos que m- ≥ m como necessário aqui também.
A declaração é verdadeira para todos os casos e, por isso, provamos isso por exaustão.