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Resposta:
Para encontrar vetores que pertencem ao núcleo de \( T \), precisamos resolver a equação \( T(x, y) = (0, 0) \).
Dado \( T(x, y) = (2x+y, 4x+2y) \), queremos encontrar \( (x, y) \) tal que \( T(x, y) = (0, 0) \).
Isso nos leva ao sistema de equações:
\[ 2x + y = 0 \]
\[ 4x + 2y = 0 \]
Podemos simplificar a segunda equação dividindo por 2:
\[ 2x + y = 0 \]
\[ 2x + y = 0 \]
Claramente, essas duas equações são idênticas, o que significa que qualquer vetor que satisfaça uma delas também satisfaz a outra. Assim, podemos escolher qualquer conjunto de vetores onde cada vetor seja um múltiplo escalar constante do outro.
Examinando as opções fornecidas:
A. {(1,2);(2,3);(3,6)}
B. NENHUMA DAS ANTERIRORES
C. {(-1,-2);(-2,-3);(-3,-6)}
D. {(1,-2);(2,-3);(-3,6)}
E. {(1,-3);(2,-4);(-3,5)}
Verificamos cada conjunto para ver se há dois vetores que são múltiplos escalares entre si. Ao fazer isso, observamos que o conjunto C, {(-1,-2);(-2,-3);(-3,-6)}, contém vetores que são múltiplos escalares uns dos outros, e todos eles são soluções válidas para \( T(x, y) = (0, 0) \).
Portanto, a resposta correta é:
C. {(-1,-2);(-2,-3);(-3,-6)}