Matheusbersanmonteiridn
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(FGV-SP-2009) Sendo k uma constante real, o
sistema de equações
x-y=2
kx+y=3
admite solução (x,y) no primeiro quadrante do
plano cartesiano se, e somente se:
​

Sagot :

Auditsysidn

[tex]\Large \text{$ \begin{cases}\sf x - y = 2\\\sf kx + y = 3\end{cases} $}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf (x + kx) + (y - y) = 2 + 3 $}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf x + kx = 5 $}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf x = \dfrac{5}{1 + k} $}[/tex]

[tex]\Large \boxed{\text{$ \sf x > 0 $}}\rightarrow\textsf{primeiro quadrante}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf \dfrac{5}{1 + k} > 0 $}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf 1 + k > 0 $}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf k > -1 $}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf \dfrac{5}{1 + k} - y = 2 $}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf y = \dfrac{5}{1 + k} - 2 $}[/tex]

[tex]\Large \boxed{\text{$ \sf y > 0 $}}\rightarrow\textsf{primeiro quadrante}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf \dfrac{5}{1 + k} - 2 > 0$}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf \dfrac{5}{1 + k} > 2$}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf 5 > 2 + 2k$}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf 2k < 3$}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf k < \dfrac{3}{2}$}[/tex]

[tex]\Large \boxed{\boxed{\text{$ \sf S = \left\{k \in \mathbb{R}~|~-1 < k < \tfrac{3}{2}\: \} $}}}[/tex]

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