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De acordo com a equação os ângulos internos e externos, a soma das medidas dos ângulos internos do polígono decágono é 1440°.
A soma dos ângulos interno S = ( n - 2 )×180°, em que n é o número de lados.
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases}\sf \dfrac{a_i}{a_e } = \dfrac{1}{4} \\ \\\sf S_i = \:? \end{cases} } $ }[/tex]
Resolução:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{a_i}{a_e} = \dfrac{1}{4} \implies a_1 = 4 \cdot a_e } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{a_i + a_e = 180^{\circ} \implies a_i = 180^{\circ} - a_e } $ }[/tex]
Substituindo na expressão, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_i = 4 \cdot a_e \implies 180^{\circ} -a_e = 4 \cdot a_e } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 180^{\circ} = 4 \cdot a_e +a_e \implies 180^{\circ} = 5 \cdot a_e } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{180^{\circ} }{5} = a_e \implies a_e = 36^{\circ} } $ }[/tex]
Os ângulos externos de um polígono regular são congruentes.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{a_e = \dfrac{360^{\circ } }{n} \implies 36^{\circ} = \dfrac{360^{\circ } }{n} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ n = \dfrac{360^{\circ } }{36^{\circ}} \implies n = 10 } $ }[/tex]
Calcular o valor da soma dos ângulos internos de um polígono.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_i = (\,n-2 \,) \cdot 180^{\circ} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_{10} = (\,10-2 \,) \cdot 180^{\circ} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_{10} = 8\cdot 180^{\circ} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_{10} = 1\,440^{\circ} } $ }[/tex]
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