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Para determinar a equação da reta tangente à curva no ponto (2, 1), precisamos encontrar a derivada da função em relação a x e avaliá-la nesse ponto.
A equação da curva é dada por x^3 + y^5 = 6y + 3.
Para encontrar a derivada em relação a x, derivamos ambos os lados da equação em relação a x:
d/dx (x^3 + y^5) = d/dx (6y + 3).
A derivada de x^3 em relação a x é 3x^2. A derivada de y^5 em relação a x é 5y^4 * dy/dx, pois y é uma função de x.
Portanto, temos:
3x^2 + 5y^4 * dy/dx = 0.
Agora, precisamos encontrar o valor de dy/dx no ponto (2, 1). Substituindo x = 2 e y = 1 na equação acima, podemos resolver para dy/dx:
3(2)^2 + 5(1)^4 * dy/dx = 0,
12 + 5 * dy/dx = 0,
5 * dy/dx = -12,
dy/dx = -12/5.
Agora que temos o valor de dy/dx, podemos usar a fórmula da equação da reta tangente:
y - y1 = m(x - x1),
onde (x1, y1) é o ponto dado (2, 1) e m é a inclinação da reta tangente.
Substituindo os valores na fórmula, temos:
y - 1 = (-12/5)(x - 2).
Simplificando a equação, temos a equação da reta tangente:
y = (-12/5)x + 26/5.