Para determinar a quantidade de participantes na São Silvestre de 2031, dado que o número de participantes segue um modelo linear \( P(t) = at + b \), onde \( t \) é o ano e \( P(t) \) é o número de participantes, precisamos encontrar os coeficientes \( a \) e ( b ).
Dados fornecidos no problema:
- Em 2014, \( P(2014) = 30000 \)
- Em 2019, \( P(2019) = 35000 \)
Vamos usar esses dados para determinar \( a \) e \( b \).
1. Usando \( P(2014) = 30000 ):
[tex]P(2014) = a \cdot 2014 + b = 30000[/tex]
2. Usando \( P(2019) = 35000 \):
[tex]P(2019) = a \cdot 2019 + b = 35000[/tex]
Agora, resolvemos este sistema de equações para encontrar \( a \) e \( b \).
Subtraindo a primeira equação da segunda:
\[ (a \cdot 2019 + b) - (a \cdot 2014 + b) = 35000 - 30000 \]
\[ a \cdot (2019 - 2014) = 5000 \]
\[ a \cdot 5 = 5000 \]
\[ a = \frac{5000}{5} = 1000 \]
Agora, substituímos \( a = 1000 \) em uma das equações para encontrar \( b \).
Usando a [tex]\cdot 2014 + b = 30000[/tex]
1000 \cdot 2014 + b = 30000
2014000 + b = 30000
b = 30000 - 2014000
b = 985000
Assim, a função que descreve o número de participantes é [tex]( P(t) = 1000t + 985000[/tex]
Para encontrar o número de participantes em 2031 (( t = 2031 \)):
[tex]P(2031) = 1000 \cdot 2031 + 985000[/tex]
[tex](2031) = 2031000 + 985000[/tex]
[tex]P(2031) = 3016000[/tex]
Portanto, a quantidade de participantes na São Silvestre de 2031 será [tex]\boxed{\green{3016000}}[/tex]
