Precisamos resolver o seguinte sistema para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[\begin{cases}x + 2y + z = 12 \\x - 3y + 5z = 1 \\2x - y + 3z = 10\end{cases}\][/tex]
Passo 1: Isolar [tex]\( x \)[/tex] na primeira equação
[tex]\[ x + 2y + z = 12 \implies x = 12 - 2y - z \][/tex]
Passo 2: Substituir [tex]\( x \)[/tex] nas outras duas equações
Para a segunda equação:
[tex]\[ x - 3y + 5z = 1 \implies 12 - 2y - z - 3y + 5z = 1 \implies 12 - 5y + 4z = 1 \implies -5y + 4z = -11 \implies 5y - 4z = 11 \][/tex]
Para a terceira equação:
[tex]\[ 2x - y + 3z = 10 \implies 2(12 - 2y - z) - y + 3z = 10 \implies 24 - 4y - 2z - y + 3z = 10 \implies 24 - 5y + z = 10 \implies -5y + z = -14 \implies 5y - z = 14 \][/tex]
Passo 3: Resolver o novo sistema de equações para [tex]\( y \)[/tex] e [tex]\( z \)[/tex]
Temos:
[tex]\[\begin{cases}5y - 4z = 11 \\5y - z = 14\end{cases}\][/tex]
Subtraímos a primeira equação da segunda:
[tex]\[ (5y - z) - (5y - 4z) = 14 - 11 \implies -z + 4z = 3 \implies 3z = 3 \implies z = 1 \][/tex]
Passo 4: Substituir [tex]\( z \)[/tex] de volta em uma das equações para encontrar \( y \)
Substituímos [tex]\( z = 1 \)[/tex] em [tex]\( 5y - z = 14 \)[/tex]:
[tex]\[ 5y - 1 = 14 \implies 5y = 15 \implies y = 3 \][/tex]
Passo 5: Substituir [tex]\( y \)[/tex] e [tex]\( z \)[/tex] de volta na equação para [tex]\( x \)[/tex]
[tex]\[ x = 12 - 2(3) - 1 \implies x = 12 - 6 - 1 \implies x = 5 \][/tex]
Resposta Final
[tex]\[ x = 5 \][/tex]
