Para resolver o problema, vamos usar os dados fornecidos e relacioná-los com os conceitos de dinâmica circular.
1. **Dados fornecidos:**
- Massa da esfera, \( m = 3 \) kg
- Velocidade linear da esfera, \( v \)
- Ângulo \( \alpha \) entre o fio e a vertical, onde \( \tan \alpha = \frac{8}{15} \)
- Componente horizontal da tração no fio, \( T_x = 16 \) N
2. **Força centrípeta:**
A força centrípeta é responsável pela trajetória circular da esfera e é dada por:
\[ F_c = \frac{mv^2}{r} \]
onde \( r \) é o raio do cone circular imaginário.
3. **Componente horizontal da tração:**
A componente horizontal da tração no fio fornece a força centrípeta necessária para manter a esfera em movimento circular:
\[ T_x = T \cos \alpha \]
Onde \( T \) é a tração no fio e \( \alpha \) é o ângulo entre o fio e a vertical.
4. **Relação entre a tração e a força centrípeta:**
\[ T_x = T \cos \alpha \]
\[ T_x = \frac{mv^2}{r} \]
5. **Determinando a tração \( T \):**
\[ T = \frac{T_x}{\cos \alpha} \]
\[ T = \frac{16}{\frac{8}{15}} \]
\[ T = 16 \times \frac{15}{8} \]
\[ T = 30 \text{ N} \]
6. **Calculando o raio do cone imaginário:**
\[ \frac{mv^2}{r} = T \]
\[ \frac{3v^2}{r} = 30 \]
\[ r = \frac{3v^2}{30} \]
\[ r = \frac{v^2}{10} \]
7. **Calculando o volume do cone imaginário:**
O volume \( V \) de um cone é dado por:
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
Onde \( h \) é a altura do cone.
Como não temos a altura \( h \), mas sabemos que a esfera gira formando um cone circular, podemos considerar que \( h = r \tan \alpha \):
\[ h = r \cdot \frac{8}{15} \]
\[ h = \frac{v^2}{10} \cdot \frac{8}{15} \]
Portanto, o volume do cone será:
\[ V = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{v^2}{10} \right)^2 \cdot \frac{v^2}{10} \cdot \frac{8}{15} \]
Simplificando,
\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{v^6}{1000} \cdot \frac{8}{15} \]
\[ V = \frac{\pi}{3750} \cdot v^6 \]
Assim, o volume do cone imaginário, em cm³, é \( \frac{\pi}{3750} \cdot v^6 \).
