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Sagot :
Resposta:
Explicação passo a passo:
Para resolver a equação \( (x^2 - 6)^2 = x^2 \) e encontrar o conjunto verdade no conjunto dos números reais \( \mathbb{R} \), vamos proceder da seguinte maneira:
1. **Expandir o quadrado da esquerda:**
\[ (x^2 - 6)^2 = x^2 \]
Isso significa que \( (x^2 - 6) \) elevado ao quadrado é igual a \( x^2 \):
\[ (x^2 - 6)(x^2 - 6) = x^2 \]
\[ x^4 - 12x^2 + 36 = x^2 \]
2. **Reorganizar a equação:**
Subtraindo \( x^2 \) de ambos os lados para obter uma equação quadrática:
\[ x^4 - 12x^2 + 36 - x^2 = 0 \]
\[ x^4 - 13x^2 + 36 = 0 \]
3. **Resolver a equação quadrática:**
Para resolver \( x^4 - 13x^2 + 36 = 0 \), podemos fazer uma substituição \( y = x^2 \):
\[ y^2 - 13y + 36 = 0 \]
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula quadrática \( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), onde \( a = 1 \), \( b = -13 \), e \( c = 36 \):
\[ y = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1} \]
\[ y = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2} \]
\[ y = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2} \]
\[ y = \frac{13 \pm 5}{2} \]
Assim, encontramos duas soluções para \( y \):
\[ y_1 = \frac{18}{2} = 9 \]
\[ y_2 = \frac{8}{2} = 4 \]
Portanto, \( x^2 \) pode ser \( 9 \) ou \( 4 \).
4. **Encontrar os valores de \( x \):**
Para cada valor de \( x^2 \):
- Se \( x^2 = 9 \), então \( x = \pm 3 \).
- Se \( x^2 = 4 \), então \( x = \pm 2 \).
Portanto, o conjunto verdade da equação \( (x^2 - 6)^2 = x^2 \) no conjunto dos números reais \( \mathbb{R} \) é \( \boxed{\{-3, -2, 2, 3)
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