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Sagot :
Usando dois métodos distintos, Fatoração de um polinómio e o uso da Fórmula Resolutiva, obtém-se:
x = 7 ou x = 1
( ver gráfico em anexo 1 )
As Equações quadráticas ( segundo grau ) completas são:
[tex]\Large\text{$ax^2+bx+c=0~~~~~~~~ ~~~~ a\neq 0~$}[/tex]
Todas podem ser resolvidas com a Fórmula Resolutiva ( Bhaskara ).
Existe também o método de Fatoração
[tex]\Large\text{$x^2-8x+7=0$}[/tex]
Aqui é feita uma manipulação, dentro das regras da Matemática, para se chegar aonde se pretende,
[tex]\Large\text{$x^2-7x-x+7=0$}[/tex]
Agrupar os dois primeiros monômios e o terceiro e quarto monômios
[tex]\Large\text{$(x^2-7x)+(-x+7)=0$}[/tex]
No primeiro parêntesis curvo ( )
colocar o "x" em evidência
[tex]\Large\text{$(x^2-7x)+(-x+7)=0$}[/tex]
[tex]\Large\text{$(x\cdot x-7\cdot x)+(-x+7)=0$}[/tex]
[tex]\Large\text{$x\cdot (\dfrac{x\cdot x}{x} -\dfrac{7\cdot x}{x} )+(-x+7)=0$}[/tex]
Repare-se que quando se colocou o "x" em evidência, antes do parêntesis curvo, ele ficou a multiplicar.
Para que a equação seja equivalente à anterior tem que dentro do
parêntesis curvo colocar cada monômio a dividir pelo mesmo "x"
[tex]\Large\text{$x\cdot (x-7)+(-x+7)=0$}[/tex]
Na primeira e na segunda fração um "x" no numerador cancela-se com outro "x" no denominador.
Agora tem-se no primeiro termo:
- [tex]\Large\text{$x-7$}[/tex]
e no segundo termo
- [tex]\Large\text{$-x+7$}[/tex]
São quase iguais
Para que sejam mesmo iguais vai-se multiplicar o segundo termo por:
- " - 1 "
[tex]\Large\text{$x\cdot (x-7)-1\cdot(-x+7)=0$}[/tex]
[tex]\Large\text{$x\cdot (x-7)-(-x\cdot(-1)+7\cdot(-1))=0$}[/tex]
[tex]\Large\text{$x\cdot (x-7)-(+x-7)=0$}[/tex]
Agora existe nos primeiro e segundo termos uma expressão igual e comum
- [tex]\Large\text{$x-7$}[/tex]
Colocá-la em evidência
[tex]\Large\text{$( x -7)\cdot (\dfrac{x\cdot (x-7)}{x-7}-\dfrac{(x-7)}{(x-7)}) =0$}[/tex]
[tex]\Large\text{$( x -7)\cdot (x-1) =0$}[/tex]
Lei do Anulamento do Produto
Quando se tem:
- um produto de fatores igual a zero,
pelo menos um desses fatores
- é igual a zero.
[tex]\Large\text{$x -7=0~~~~~~ou~~~~~~x-1 =0$}[/tex]
[tex]\boxed{\Large\text{$x =7~~~~~~ou~~~~~~x=1$}}[/tex]
Observação 1
Este método é o mais rápido para encontrar as soluções da equação.
Percebe-se que para quem estar a ler esta resolução seja complicado.
E difícil de entender.
Por isso vai-se também fazer a resolução pelo:
- Método da Fórmula Resolutiva ( Bhaskara )
Recolher informação
Fórmula Resolutiva
[tex]\large\text{$ \sf x = \dfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$}[/tex] ou [tex]\large\text{$ \sf x = \dfrac{-b \pm \sqrt {\Delta}}{2a}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$x^2-8x+7=0$}[/tex]
[tex]\Large\text{$a=1$}[/tex]
[tex]\Large\text{$b=-8$}[/tex]
[tex]\Large\text{$c=7$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\Delta=b^2-4ac$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\Delta=(-8)^2-4\cdot 1 \cdot 7 =64-28=36$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\sqrt{\Delta} =\sqrt{36}=6$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{-(-8)+6}{2\cdot 1}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{+8+6}{2}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{14}{2}$}[/tex]
[tex]\boxed{\Large\text{$ \sf x_{1} = 7$}}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{2} = \dfrac{+8-6}{2}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{2} = \dfrac{2}{2}$}[/tex]
[tex]\boxed{\Large\text{$ \sf x_{2} = 1$}}[/tex]
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Bons estudos.
Duarte Morgado
( Mestre em Matemática }
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[tex](\cdot )[/tex] multiplicação [tex](\neq )[/tex] diferente de
Nas minhas respostas , que são originais , mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.
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