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Resposta:
Para encontrar o perímetro de um retângulo, precisamos saber os valores do comprimento e da largura. No problema dado, temos as expressões para o comprimento (\(x + 1\) cm) e para a largura (\(x - 2\) cm). Sabemos também que a área do retângulo é 54 cm². Vamos encontrar o valor de \(x\) e, em seguida, calcular o perímetro.
Explicação passo-a-passo:
1. **Equação da área**:
\[ \text{Área} = \text{comprimento} \times \text{largura} \]
\[ 54 = (x + 1)(x - 2) \]
2. **Resolver a equação**:
\[ 54 = x^2 - 2x + x - 2 \]
\[ 54 = x^2 - x - 2 \]
\[ x^2 - x - 56 = 0 \]
3. **Resolver a equação quadrática**:
\[ x^2 - x - 56 = 0 \]
Usamos a fórmula de Bhaskara:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Onde \(a = 1\), \(b = -1\), e \(c = -56\):
\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-56)}}{2(1)} \]
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2} \]
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{225}}{2} \]
\[ x = \frac{1 \pm 15}{2} \]
Temos duas soluções:
\[ x = \frac{1 + 15}{2} = 8 \]
\[ x = \frac{1 - 15}{2} = -7 \]
Como \(x\) deve ser positivo (comprimento e largura não podem ser negativos), escolhemos \(x = 8\).
4. **Encontrar o comprimento e a largura**:
\text{Comprimento} = x + 1 = 8 + 1 = 9 \, \text{cm} \]
\text{Largura} = x - 2 = 8 - 2 = 6 \, \text{cm} \]
5. **Calcular o perímetro**:
{Perímetro} = 2(9 + 6) ]
{Perímetro} = 2 x 15 ]
{Perímetro} = 30