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Resposta:
As soluções para a equação irracional \( \sqrt{3x - 1} = x - 2 \) são \( \boxed{x = 1 \text{ e } x = 5} \).
Explicação passo a passo:
Para resolver uma equação irracional, geralmente precisamos isolar a expressão irracional e depois elevar ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz. Vamos seguir um exemplo passo a passo:
Exemplo:
Resolver a equação irracional \( \sqrt{3x - 1} = x - 2 \).
Passo 1: Isolar a raiz quadrada:
\[ \sqrt{3x - 1} = x - 2 \]
Passo 2: Elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz (lembrando que isso pode introduzir soluções extranas, então é importante verificar as soluções obtidas):
\[ (\sqrt{3x - 1})^2 = (x - 2)^2 \]
\[ 3x - 1 = (x - 2)^2 \]
Passo 3: Expandir o quadrado do lado direito:
\[ 3x - 1 = x^2 - 4x + 4 \]
Passo 4: Colocar todos os termos de um lado da equação para resolver a equação quadrática:
\[ x^2 - 4x + 4 - 3x + 1 = 0 \]
\[ x^2 - 7x + 5 = 0 \]
Passo 5: Resolver a equação quadrática usando fatoração, fórmula quadrática ou completando o quadrado:
\[ (x - 5)(x - 1) = 0 \]
Passo 6: Encontrar as soluções:
\[ x - 5 = 0 \quad \text{ou} \quad x - 1 = 0 \]
\[ x = 5 \quad \text{ou} \quad x = 1 \]
Passo 7: Verificar as soluções na equação original, pois podem existir soluções que não satisfaçam a equação original após a elevação ao quadrado. No entanto, neste caso, ambas as soluções \( x = 5 \) e \( x = 1 \) satisfazem a equação original \( \sqrt{3x - 1} = x - 2 \).