Resposta:
alternativa e)
Explicação passo a passo:
Vamos lá:
Para encontrarmos a área, primeiro devemos calcular as distâncias de cada ponto. Para isso, usamos a fórmula:
[tex]D = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}[/tex]
Calculando a distância entre os pontos (1,2) e (3,4):
[tex]D_1 = \sqrt{(1 - 3)^2+(2 - 4)^2}\\ D_1 = \sqrt{(- 2)^2 + (- 2)^2}\\ D_1 = \sqrt{4 + 4} \\ D_1 = \sqrt{8}\\ D_1 = 2\sqrt{2}[/tex]
Agora, a distância entre os pontos (3,4) e (4,-1):
[tex]D_2=\sqrt{(3 - 4)^2+[4 -(-1)]^2} \\ D_2=\sqrt{(-1)^2+(4+1)^2}\\ D_2=\sqrt{1 + 5^2}\\ D_2=\sqrt{1+25}\\ D_2=\sqrt{26}[/tex]
Por fim, a distância entre os pontos (1,2) e (4,-1):
[tex]D_3=\sqrt{(1 - 4)^2+[2-(-1)]^2} \\ D_3=\sqrt{(-3)^2+(2+1)^2}\\ D_3=\sqrt{9+3^2}\\ D_3=\sqrt{9+9}\\ D_3=\sqrt{18} \\ D_3 = 3\sqrt{2}[/tex]
Para nos certificar que trata-se de um triângulo retângulo:
[tex]D_2=\sqrt{D_1^2+D_3^2} \\ D_2=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2} \\ D_2=\sqrt{8+18} \\ D_2=\sqrt{26}[/tex]
Logo, esse triângulo é retângulo.
Agora, calculamos a área do triângulo:
[tex]A = \frac{b.h}{2} \\ \\ A = \frac{3\sqrt{2}.2\sqrt{2}}{2} \\ \\ A = \frac{6.2}{2} \\ \\ A = 6[/tex]
A imagem do triângulo formado pelas distâncias dos pontos apresentados na questão está em anexo.
Espero ter ajudado.
