Para encontrar o produto misto dos vetores \(\vec{a} = (8, 12, 20)\), \(\vec{b} = (-4, 12, 12)\) e \(\vec{c} = (16, -12, 8)\), podemos utilizar a fórmula do produto misto dada por:
\[
\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})
\]
Primeiramente, calculamos o produto vetorial entre os vetores \(\vec{b}\) e \(\vec{c}\):
\[
\vec{B} \times \vec{C} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
-4 & 12 & 12 \\
16 & -12 & 8
\end{vmatrix}
\]
Calculando o determinante acima, obtemos:
\[
\begin{aligned}
\vec{B} \times \vec{C} &= (\hat{i} \cdot (12 \cdot 8 - 12 \cdot (-12)) - \hat{j} \cdot ((-4) \cdot 8 - 12 \cdot 16) + \hat{k} \cdot ((-4) \cdot (-12) - 12 \cdot 16)) \\
&= (96 + 144)\hat{i} - (32 - 192)\hat{j} + (48 + 192)\hat{k} \\
&=240\hat{i} + (-224)\hat{j} +240\hat{k}
\end{aligned}
\]
Agora, calculamos o produto escalar entre o vetor \(\vec{a}\) e o resultado do produto vetorial entre os vetores \(\vec{b}\) e \(\vec{c}\):
\[
\begin{aligned}
\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) &= (8, 12, 20) \cdot (240, -224, 240) \\
&= 8(240) + 12(-224) + 20(240) \\
&=1920 -2688 +4800 \\
&=4032
\end{aligned}
\]
Portanto, o produto misto dos vetores dados é \(4032\).
