Para resolver a equação dada, podemos utilizar a propriedade dos logaritmos que diz que a diferença de dois logaritmos é igual ao logaritmo do quociente dos números que estão dentro dos logaritmos.
Assim, a equação log²(x + 1) - log²(x - 4) = 3 pode ser reescrita como:
log²[tex][(x + 1)/(x - 4)] = 3[/tex]
Agora, podemos utilizar o fato de que log²(a) = b é equivalente a 2^b = a. Portanto, podemos reescrever a equação anterior como:
[tex]2^3 = (x + 1)/(x - 4)[/tex]
[tex]8 = (x + 1)/(x - 4)[/tex]
Multiplicando ambos os lados da equação por x - 4, obtemos:
[tex]8(x - 4) = x + 1[/tex]
[tex]8x - 32 = x + 1[/tex]
Subtraindo x de ambos os lados, temos:
[tex]7x - 32 = 1[/tex]
Somando 32 em ambos os lados, chegamos em:
[tex]7x = 33[/tex]
Dividindo ambos os lados por 7, encontramos o valor de x:
[tex]x = 33/7[/tex]
Portanto, a solução da equação log²(x + 1) - log²(x - 4) = 3 é x = 33/7.
