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Sagot :
(Tarefa — 60860252)
Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de igualdade de matrizes que
a) Todas as matrizes são quadradas de ordem 3 ✅
b) a=0,b=0 e c=0✅
c) x=¹/₃,y=1 e z=¹/₂ ✅
d) α=-²/₃,β=-3 e γ= -¹/₂ ✅
Enunciado
Dada as matrizes [tex]\rm A=\begin{bmatrix}\rm0&\rm0&\rm0\\\rm0&\rm0&\rm0\\\rm0&\rm0&\rm3\end{bmatrix}[/tex],[tex]\rm B=\begin{bmatrix}\rm1&\rm0&\rm0\\\rm0&\rm0&\rm0\\\rm0&\rm0&\rm0\end{bmatrix}[/tex] e [tex]\rm C=\begin{bmatrix}\rm0&\rm0&\rm0\\\rm0&\rm2&\rm0\\\rm0&\rm0&\rm0\end{bmatrix}[/tex]
a) Classifique as matrizes
b) Determine a,b, e c ∈ ℝ, tais que aA+bB cC=0
c) Determine x,y e z ∈ ℝ, tais que xA+yB+zC=I₃
d) Determine α,β,γ ∈ ℝ, tais que αA+βB+γC= [tex]\rm \begin{bmatrix}\rm-3&\rm0&\rm0\\\rm0&\rm-1&\rm0\\\rm0&\rm0&\rm-2\end{bmatrix}[/tex]
Matriz
Chama-se matriz ao conjunto de números reais dispostos em linhas e colunas. Cada elemento esta muito bem localizado em termo de sua posição em relação a linha e a coluna. Por exemplo na matriz
[tex]\rm A=\begin{bmatrix}\rm 3&\rm-2\\\rm4&\rm10\end{bmatrix} \rm o\, n\acute umero -2 \,est\acute a\,localizado\,na\,1^a linha\,e\,2^a\, coluna.[/tex]
Construção de uma matriz via lei matricial
Consiste em representar uma matriz da forma de forma genérica e usando a regra fornecida no exercício encontrar os elementos e substituir na matriz montada.
A lei de formação geral de uma matriz é
[tex]\rm A=(a_{ij})_{m\times n}[/tex]
em que
[tex]\rm A\xrightarrow{\hspace{1cm}}[/tex] nome da matriz em questão
[tex]\rm i\xrightarrow{\hspace{1cm}}[/tex] representa a linha do elemento
[tex]\rm j\xrightarrow{\hspace{1cm}}[/tex] representa a coluna do elemento
[tex]\rm m\xrightarrow{\hspace{1cm}}[/tex] número total de linhas da matriz
[tex]\rm n\xrightarrow{\hspace{1cm}}[/tex] número total de colunas da matriz
Classificação de matrizes
- Matriz quadrada
É a matriz em que o número de linhas é igual ao de colunas.
Exemplo: [tex]\rm T=\begin{bmatrix}\rm1&\rm2\\\rm3&\rm4\end{bmatrix}[/tex]
Em toda matriz quadrada está definida a diagonal principal e a diagonal secundaria. a diagonal principal é contada da esquerda para direita e a diagonal secundária é contada da direita para esquerda. Observe a matriz genérica de ordem 3:
[tex]\rm D=\begin{bmatrix}\rm a_{11}&\rm a_{12}&\rm a_{13}\\\rm a_{21}&\rm a_{22}&\rm a_{23}\\\rm a_{31}&\rm a_{32}&\rm a_{33}\end{bmatrix}[/tex]
seguindo a definição a diagonal principal são os elementos a₁₁,a₂₂ e a₃₃. Já a diagonal secundária são os elementos a₁₃,a₂₂ e a₃₁.
- Matriz identidade
É a matriz quadrada cuja diagonal principal é formada somente pelo número 1 e os demais elementos são nulos.
exemplo
[tex]\rm I_4=\begin{bmatrix}\rm1&\rm0&\rm0&\rm0\\\rm0&\rm1&\rm0&\rm0\\\rm0&\rm0&\rm1&\rm0\\\rm0&\rm0&\rm0&\rm1\end{bmatrix}[/tex]
- matriz nula
É a matriz onde todos os seus elementos são nulos.
exemplo:
[tex]\rm \begin{bmatrix}\rm0&\rm0&\rm0\\\rm0&\rm0&\rm0\\\rm0&\rm0&\rm0\end{bmatrix}[/tex]
Igualdade de matrizes
Duas matrizes são iguais quando são do mesmo tipo, isto é, contém a mesma quantidade de linhas e de colunas além dos elementos ocuparem a mesma posição.
observe o exemplo:
[tex]\rm A=\begin{bmatrix}\rm a_{11}&\rm a_{12}\\\rm a_{21}&\rm a_{22}\end{bmatrix}\\\\\rm B=\begin{bmatrix}\rm b_{11}&\rm b_{12}\\\rm b_{21}&\rm b_{22}\end{bmatrix}\\\\\rm A=B\iff\begin{cases}\rm a_{11}=b_{11}\\\rm a_{12}=b_{12}\\\rm a_{21}=b_{21}\\\rm a_{22}=b_{22}\end{cases}[/tex]
Multiplicação de um número real por uma matriz
Para efetuar o produto de um número real α por uma matriz qualquer, basta multiplicar cada elemento da matriz por este número.
[tex]\rm A=\begin{bmatrix}\rm a_{11}&\rm a_{12}&\rm a_{13}\dotsc &\rm a_{1n}\\\rm a_{21}&\rm a_{22}&\rm a_{23}\dotsc& \rm a_{2n}\\\vdots&\vdots&~~~~\vdots\dotsc&\vdots\\\rm a_{m1}&\rm a_{m2}&\rm a_{m3}\dotsc&\rm a_{mn}\end{bmatrix}\\\\\\[/tex]
[tex]\rm \alpha\cdot A=\begin{bmatrix}\rm \alpha a_{11}&\rm \alpha a_{12}&\rm \alpha a_{13}\dotsc &\rm \alpha a_{1n}\\\rm \alpha a_{21}&\rm \alpha a_{22}&\rm \alpha a_{23}\dotsc& \rm \alpha a_{2n}\\\vdots&\vdots&~~~~\vdots\dotsc&\vdots\\\rm\alpha a_{m1}&\rm\alpha a_{m2}&\rm \alpha a_{m3}\dotsc&\rm \alpha a_{mn}\end{bmatrix}[/tex]
Produto de matrizes
o produto de matrizes só existe quando o número de colunas da 1ª matriz é igual ao número de linhas da 2ª matriz. Além disso a matriz produto terá o mesmo número de linhas da 1ª e o mesmo número de colunas da 2ª. Garantido isso, o produto de uma matriz por outra é dada pela multiplicação das linhas da 1ª matriz pelas colunas da 2ª matriz.
Por exemplo
[tex]\rm A=\begin{bmatrix}\rm1&\rm 2\end{bmatrix}~~B=\begin{bmatrix}\rm3\\\rm5\end{bmatrix}\\\\\rm A\cdot B=\begin{bmatrix}\rm1\cdot3+2\cdot5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\rm3+10\end{bmatrix}\\\\\rm A\cdot B=\begin{bmatrix}\rm13\end{bmatrix}[/tex]
Soma de matrizes
Para somar duas ou mais matrizes bastam que sejam do mesmo tipo e a soma é dada pelos elementos que ocupam a mesma posição.
[tex]\rm A= \begin{bmatrix}\rm a_{11}&\rm a_{12}&\rm a_{13}\\\rm a_{21}&\rm a_{22}&\rm a_{23}\end{bmatrix}\qquad B=\begin{bmatrix}\rm b_{11}&\rm b_{12}&\rm b_{13}\\\rm b_{21}&\rm b_{22}&\rm b_{23}\end{bmatrix}\\\\\rm A+B=\begin{bmatrix}\rm a_{11}+b_{11}&\rm a_{12}+b_{12}&\rm a_{13}+b_{13}\\\rm a_{21}+b_{21}&\rm a_{22}+b_{22}&\rm a_{23}+b_{23}\end{bmatrix}[/tex]
✍️Vamos a resolução do exercício
a) Todas as matrizes do exercício são quadradas de ordem 3 pois possuem 3 linhas e 3 colunas.
b) Aqui vamos utilizar a definição de produto de um número real por uma matriz em conjunto com a igualdade e soma de matrizes.
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf aA=\begin{bmatrix}\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf3a\end{bmatrix}\\\sf bB=\begin{bmatrix}\sf b&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\end{bmatrix}\\\sf cC=\begin{bmatrix}\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf2c&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\end{bmatrix}\end{array}}}[/tex]
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf aA+bB+cC=0\\\\\sf \begin{bmatrix}\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf3a\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\sf b&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf2c&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\end{bmatrix}\\\\\end{array}}}[/tex]
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l} \sf\begin{bmatrix}\sf b&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf2c&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf3a\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\end{bmatrix}\\\begin{cases}\sf b=0\\\sf 2c=0\\\sf3a =0\end{cases}\\\sf \boxed{\sf b=0}\\\sf 2c=0\\\\\sf c=\dfrac{0}{3}\\\\\sf\boxed{\sf c=0}\\\sf 3a=0\\\\\sf a=\dfrac{0}{3}\\\\\sf \boxed{\sf a=0}\end{array}}}[/tex]
c)Aqui vamos usar a definição de multiplicação de um número real por uma matriz em conjunto com a soma e a igualdade de matrizes além de utilizar o conhecimento de matriz identidade.
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\sf xA=\begin{bmatrix}\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\\\sf 0&\sf0&\sf 3x\end{bmatrix}\qquad yB=\begin{bmatrix}\sf y&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\end{bmatrix}\qquad zC=\begin{bmatrix}\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf2z&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\end{bmatrix}\end{array}}}[/tex]
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf xA+yB+zC=I_3\\\\\sf\begin{bmatrix}\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf3x\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\sf y&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\sf0&\sf0&\sf0\\\sf 0&\sf2z&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sf1&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf1&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf1\end{bmatrix}\end{array}}}[/tex]
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\sf\begin{bmatrix}\sf y&\sf0&\sf0\\\sf 0&\sf2z&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf3x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sf1&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf1&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf1\end{bmatrix}\\\\\begin{cases}\sf y=1\\\sf 2z=1\\\sf 3x=1\end{cases}\\\sf\boxed{\sf y=1}\\\sf 2z=1\\\\\sf \boxed{\sf z=\dfrac{1}{2}}\\\\\sf 3x=1\\\\\sf \boxed{\sf x=\dfrac{1}{3}} \end{array}}}[/tex]
d) Aqui vamos utilizar a definição de multiplicação de um número real por uma matriz em conjunto com a igualdade e a soma de matrizes.
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\sf \alpha A=\begin{bmatrix}\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf3\alpha\end{bmatrix}\qquad \beta B=\begin{bmatrix}\sf\beta&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\end{bmatrix}\qquad\gamma C=\begin{bmatrix}\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf2\gamma&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\end{bmatrix}\end{array}}}[/tex]
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\sf \alpha A+\beta B+\gamma C=\begin{bmatrix}\sf-3&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf-1&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf-2\end{bmatrix}\\\\\sf\begin{bmatrix}\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf3\alpha\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\sf \beta&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\sf0&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf2\gamma&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sf-3&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf-1&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf-2\end{bmatrix}\end{array}}}[/tex]
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\sf\begin{bmatrix}\sf\beta&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf2\gamma&\sf0\\\sf0&\sf0&3\alpha\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sf-3&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf-1&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf-2\end{bmatrix}\\\begin{cases}\sf\beta=-3\\\sf 2\gamma=-1\\\sf 3\alpha=-2\end{cases}\\\\\boxed{\sf \beta=-3}\\\sf 2\gamma=-1\\\\\boxed{\sf \gamma=-\dfrac{1}{2}}\\\\\sf 3\alpha=-2\\\\\boxed{\sf \alpha=-\dfrac{2}{3}}\end{array}}}[/tex]
✏️Saiba mais em:
- brainly.com.br/tarefa/53558211
- brainly.com.br/tarefa/53446022
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