Resposta:
Para determinar os valores de ( a ), ( b ) e ( c ) para que as matrizes sejam linha-equivalentes, vamos realizar as operações necessárias.
As matrizes dadas são:
[tex]\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & a \\ 0 & -1 & 0 \\ b & c & 0 \end{bmatrix} \][/tex]
e
[tex]\[ B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & -4 \\ 1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \]
[/tex]
Para que essas matrizes sejam linha-equivalentes, uma matriz pode ser transformada na outra por operações elementares de linha.
Primeiro, vamos transformar a matriz ( A ) em ( B ):
1. Começamos com a primeira linha:
[tex]([2 \: quad \: 0 \: quad \: a]).[/tex]
Queremos transformá-la em
[tex]([1 \ \: quad \: 1 \: quad 2]).[/tex]
- Dividimos a primeira linha de ( A ) por 2:
[tex]\[ \left[\frac{2}{2} \quad \frac{0}{2} \quad \frac{a}{2}\right] = [1 \quad 0 \quad \frac{a}{2}] \][/tex]
- Precisamos transformar
[tex]\( [1 \quad 0 \quad \frac{a}{2}] \)[/tex]
em
[tex]\([1 \quad 1 \quad 2]\)[/tex]
. Para isso, precisamos somar 1 na segunda coluna e ajustar a terceira:
[tex] \[ 1 \quad + \quad 0 \quad = \quad 1 \][/tex]
[tex]\[ \frac{a}{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad a = 4 \][/tex]
2. A segunda linha de ( A ) é
[tex]\([0 \quad -1 \quad 0]\)[/tex]
e deve ser transformada em
[tex]\([-2 \quad 0 \quad -4]\).[/tex]
- Multiplicamos a segunda linha por 2:
[tex] \[ 0 \quad -2 \quad 0 \][/tex]
- Para ajustar o último elemento:
[tex]\[ 0 \][/tex]
Este passo está correto, então não precisamos alterar nada.
3. A terceira linha de ( A ) é
[tex]\([b \quad c \quad 0]\)[/tex]
e deve ser transformada em
[tex]\([1 \quad 3 quad 2]).[/tex]
- Consideramos ( b = 1 ) e ( c = 3 ):
[tex]\[ [1 \quad 3 \quad 0] \][/tex]
- Devemos ajustar o último elemento:
[tex]\[ 0 \][/tex]
Portanto, a última linha deve ser ajustada para
[tex]\([1 \quad 3 \quad 2]\).[/tex]
Conclusão:
[tex]\[ a = 4, \quad b = 1, \quad c = 3 \][/tex]
