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Sagot :
Vamos resolver as questões passo a passo.
1. Cálculo de Matrizes
a) [tex]\( A \times B \)[/tex]
[tex]\( A \)[/tex] é uma matriz [tex]\( 3 \times 2 \)[/tex] e [tex]\( B \)[/tex] é uma matriz [tex]\( 2 \times 3 \)[/tex], então o produto [tex]\( A \times B \)[/tex]resultará em uma matriz [tex]\( 3 \times 3 \).[/tex]
[tex]\[A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\3 & 4 \\4 & 2\end{pmatrix}, \quadB = \begin{pmatrix}6 & 5 & 2 \\7 & 3 & 4\end{pmatrix}\][/tex]
[tex]\[A \times B = \begin{pmatrix}(2 \cdot 6 + 3 \cdot 7) & (2 \cdot 5 + 3 \cdot 3) & (2 \cdot 2 + 3 \cdot 4) \\(3 \cdot 6 + 4 \cdot 7) & (3 \cdot 5 + 4 \cdot 3) & (3 \cdot 2 + 4 \cdot 4) \\(4 \cdot 6 + 2 \cdot 7) & (4 \cdot 5 + 2 \cdot 3) & (4 \cdot 2 + 2 \cdot 4)\end{pmatrix}\][/tex]
Calculando:
[tex]\[A \times B = \begin{pmatrix}(12 + 21) & (10 + 9) & (4 + 12) \\(18 + 28) & (15 + 12) & (6 + 16) \\(24 + 14) & (20 + 6) & (8 + 8)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}33 & 19 & 16 \\46 & 27 & 22 \\38 & 26 & 16\end{pmatrix}\][/tex]
b) [tex]\( A \times C \)[/tex]
[tex]\( A \)[/tex] é uma matriz [tex]\( 3 \times 2 \)[/tex] e [tex]\( C \)[/tex] é uma matriz [tex]\( 2 \times 3 \)[/tex], então o produto [tex]\( A \times C \)[/tex]resultará em uma matriz [tex]\( 3 \times 3 \).[/tex]
[tex]\[C = \begin{pmatrix}2 & 2 & 2 \\2 & 2 & 2\end{pmatrix}\][/tex]
[tex]\[A \times C = \begin{pmatrix}(2 \cdot 2 + 3 \cdot 2) & (2 \cdot 2 + 3 \cdot 2) & (2 \cdot 2 + 3 \cdot 2) \\(3 \cdot 2 + 4 \cdot 2) & (3 \cdot 2 + 4 \cdot 2) & (3 \cdot 2 + 4 \cdot 2) \\(4 \cdot 2 + 2 \cdot 2) & (4 \cdot 2 + 2 \cdot 2) & (4 \cdot 2 + 2 \cdot 2)\end{pmatrix}\][/tex]
Calculando:
[tex]\[A \times C = \begin{pmatrix}(4 + 6) & (4 + 6) & (4 + 6) \\(6 + 8) & (6 + 8) & (6 + 8) \\(8 + 4) & (8 + 4) & (8 + 4)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}10 & 10 & 10 \\14 & 14 & 14 \\12 & 12 & 12\end{pmatrix}\][/tex]
2. Multiplicação de Matrizes pelo Número 5
a)
[tex]\[A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \\5 & 6\end{pmatrix}\][/tex]
Multiplicando por 5:
[tex]\[5 \times A = \begin{pmatrix}5 \cdot 1 & 5 \cdot 2 \\5 \cdot 3 & 5 \cdot 4 \\5 \cdot 5 & 5 \cdot 6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5 & 10 \\15 & 20 \\25 & 30\end{pmatrix}\][/tex]
b)
[tex]\[B = \begin{pmatrix}9 & 11 & 8 \\10 & 7 & 6\end{pmatrix}\][/tex]
Multiplicando por 5:
[tex]\[5 \times B = \begin{pmatrix}5 \cdot 9 & 5 \cdot 11 & 5 \cdot 8 \\5 \cdot 10 & 5 \cdot 7 & 5 \cdot 6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}45 & 55 & 40 \\50 & 35 & 30\end{pmatrix}\][/tex]
3. Determinação da Matriz Oposta
a)
[tex]\[\text{Matriz original:} \begin{pmatrix}8 & 3 \\5 & 7\end{pmatrix}\][/tex]
A matriz oposta é obtida multiplicando todos os elementos por \(-1\):
[tex]\[\text{Matriz oposta:} \begin{pmatrix}-8 & -3 \\-5 & -7\end{pmatrix}\][/tex]
b)
[tex]\[\text{Matriz original:} \begin{pmatrix}5 & 3 \\2 & 1\end{pmatrix}\][/tex]
A matriz oposta é:
[tex]\[\text{Matriz oposta:} \begin{pmatrix}-5 & -3 \\-2 & -1\end{pmatrix}\][/tex]
4. Produto entre X e Y
Dados:
[tex]\[A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\2 & 4\end{pmatrix}, \quadB = \begin{pmatrix}X & -0,66 \\0,33 & Y\end{pmatrix}\][/tex]
Sabemos que [tex]\( B \)[/tex] é a matriz inversa de [tex]\( A \)[/tex]. Para encontrar [tex]\( B \)[/tex], podemos usar a fórmula da inversa de uma matriz [tex]\( 2 \times 2 \):[/tex]
[tex]\[A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix}d & -b \\-c & a\end{pmatrix}\][/tex]
Para [tex]\( A \):[/tex]
[tex]\[\text{det}(A) = 2 \cdot 4 - 1 \cdot 2 = 8 - 2 = 6\]\[A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix}4 & -1 \\-2 & 2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{4}{6} & -\frac{1}{6} \\-\frac{2}{6} & \frac{2}{6}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{2}{3} & -\frac{1}{6} \\-\frac{1}{3} & \frac{1}{3}\end{pmatrix}\][/tex]
Comparando com [tex]\( B \):[/tex]
[tex]\[B = \begin{pmatrix}X & -0,66 \\0,33 & Y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{2}{3} & -\frac{1}{6} \\-\frac{1}{3} & \frac{1}{3}\end{pmatrix}\][/tex]
Portanto, [tex]\( X = \frac{2}{3} \)[/tex] e [tex]\( Y = \frac{1}{3} \).[/tex]
O produto entre [tex]\( X \) e \( Y \)[/tex] é:
[tex]\[X \cdot Y = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}\][/tex]
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