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Tarefa:
UFPR - Se X é do 3° quadrante e cos x = - 1/5, então tg x é igual a:
A) √26
B) √5
C) - 1
D) 1/5
E) 2√6
Solução
Usando a Relação Fundamental da Trigonometria adaptada para chegar a valores de tangente, obtém-se:
[tex]\Large\text{$E)~~tg(x) =2\sqrt{6} $}[/tex]
Resolução
No terceiro quadrante :
A Relação Fundamental da Trigonometria é:
[tex]\LARGE\text{$sen^2(x)+cos^2(x)=1$}[/tex]
Para encontrar fórmula para a tangente tem que se dividir todos os termos por:
[tex]\Large\text{$cos^2(x)$}[/tex]
Isto porque:
[tex]\Large\text{$\dfrac{sen^2(x)}{cos^2(x)} =tg^2(x)$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\dfrac{sen^2(x)}{cos^(x)} +\dfrac{cos^2(x)}{cos^2(x)} =\dfrac{1}{cos^2(x)} $}[/tex]
Pode-se simplificar
[tex]\Large\text{$tg^2(x) +1 =\dfrac{1}{cos^2(x)} $}[/tex]
Uma fração é uma divisão
[tex]\Large\text{$tg^2(x) =1\div cos^2(x) -1$}[/tex]
Cálculo auxiliar
[tex]\Large\text{$1\div cos^2(x) $}[/tex]
[tex]\Large\text{$\dfrac{1}{1} \div (-\dfrac{1}{5})^2 $}[/tex]
Potências com expoente par têm sempre um resultado positivo.
[tex]\Large\text{$\dfrac{1}{1} \div \dfrac{1^2}{5^2} $}[/tex]
[tex]\Large\text{$\dfrac{1}{1} \div \dfrac{1}{25} $}[/tex]
[tex]\Large\text{$\dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{25}{1} =25 $}[/tex]
Fim cálculo auxiliar
[tex]\Large\text{$tg^2(x) =25 -1$}[/tex]
[tex]\Large\text{$tg(x) =+\sqrt{24} ~~~~~~ ou~~~~~~tg(x) =-\sqrt{24}$}[/tex]
O valor negativo para a tangente não vai ser usado porque no terceiro quadrante:
Pode-se simplificar o radical
Cálculo auxiliar
[tex]\Large\text{$\sqrt{24} =\sqrt{8\cdot 3}=\sqrt{2^2\cdot 2^1 \cdot 3} $}[/tex]
Observação 1
Pela regra em anexo 1 faz-se a seguinte alteração
[tex]\Large\text{$\sqrt{2^2\cdot 2^1 \cdot 3} =\sqrt{2^2}\cdot \sqrt{2\cdot3}=2\sqrt{6} $}[/tex]
Fim cálculo auxiliar
Observação 2
Quando se tem uma raiz quadrada de " um valor " elevada ao quadrado e ao mesmo tempo tem-se essa expressão elevada ao quadrado, fica apenas " um valor ".
Exemplo
[tex]\Large\text{$\sqrt{2^2}=\sqrt[2]{2^2} =2 $}[/tex]
[tex]\Large\text{$\sqrt{7^2}=\sqrt[2]{7^2} =7 $}[/tex]
Concluindo
[tex]\boxed{\Large\text{$tg(x) =2\sqrt{6} $}}[/tex]
Logo E)
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Bons estudos.
Duarte Morgado
( Mestre em Matemática }
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[tex](\cdot)[/tex] multiplicação
Nas minhas respostas , que são originais , mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.
O que eu sei, eu ensino.
Resposta:
Letra E → 2√6
Explicação passo a passo:
Usando a Relação Fundamental da Trigonometria
[tex]sen^2(x)+cos^2(x)=1\\ \\ Se~~cos(x)=\dfrac{1}{5}\\ \\ \\ sen^2(x)+(\dfrac{1}{5})^2=1\\ \\ sen^2(x)=1-\dfrac{1}{25}\\ \\\\ sen^2(x)=\dfrac{25-1}{25}\\ \\ \\ sen^2(x)=\dfrac{24}{25}\\ \\ \\ sen(x)=\sqrt{\dfrac{24}{25}} \\ \\ \\\boxed{ sen(x)=\dfrac{2\sqrt{6} }{5}}[/tex]
No terceiro quadrante :
cosseno negativo
tangente positiva
seno negativo
[tex]tg(x)=\dfrac{sen(x)}{cos(x)}\\ \\ \\ tg(x)=\dfrac{2\sqrt{6} }{5}\div\dfrac{1}{5}\\ \\ \\ tg(x)=\dfrac{2\sqrt{6} }{\not5}\times\dfrac{\not5}{1}\\ \\ \\ \large\text{$tg(x)=2\sqrt{6} $}[/tex]