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Para resolver este problema, vamos utilizar a fórmula da dilatação volumétrica:
ΔV = V₀ * β * ΔT
Onde:
ΔV é a variação no volume
V₀ é o volume inicial
β é o coeficiente de dilatação volumétrica (β = 3α, sendo α o coeficiente de dilatação linear)
ΔT é a variação de temperatura
Dados:
Raio da esfera (r): 10 cm
Coeficiente de dilatação linear do alumínio (α): 23 x 10⁻⁶ °C⁻¹
Variação de temperatura (ΔT): 100 °C - 0 °C = 100 °C
Cálculos:
Volume inicial (V₀):
O volume de uma esfera é dado por V = (4/3)πr³
V₀ = (4/3) * π * (10 cm)³
V₀ ≈ 4188,79 cm³
Coeficiente de dilatação volumétrica (β):
β = 3 * α = 3 * 23 x 10⁻⁶ °C⁻¹
β = 69 x 10⁻⁶ °C⁻¹
Variação no volume (ΔV):
ΔV = V₀ * β * ΔT
ΔV = 4188,79 cm³ * 69 x 10⁻⁶ °C⁻¹ * 100 °C
ΔV ≈ 28,90 cm³
Resposta:
A variação no volume da esfera de alumínio quando aquecida de 0 °C a 100 °C é de aproximadamente 28,90 cm³.
Com os cálculos realizados chegamos a conclusão de que a variação no volume de uma esfera de alumínio é aproximadamente 28,90 cm³.
A dilatação volumétrica é a variação de tamanho de uma substância ou material em que ocorre em três dimensões: altura, comprimento e largura.
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{\Delta V = V_0 \cdot \gamma \cdot \Delta T } $ }}[/tex]
O coeficiente de dilatação volumétrica é igual a:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \gamma = 3 \cdot \alpha } $ }[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciados:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases}\sf \Delta V = \:?\: cm^{3} \\\sf r = 10 \; cm \\\sf \alpha = 23\times 10^{-6}/C^{\circ}\\\sf \sf T_1 = 0\; C^{\circ} \\\sf \sf T_2 = 100\; C^{\circ} \end{cases} } $ }[/tex]
Resolução:
O volume da esfera é dado por:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{V = \dfrac{4\,\pi \cdot R^{3} }{3} } $ }[/tex]
Substituindo os valores na fórmula de expansão térmica, obtemos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta V = V \cdot 3 \cdot \alpha \cdot \Delta T } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta V = \left(\dfrac{4\pi}{\backslash\!\!\!{ 3}} \cdot R^{ 3}\right) \cdot \backslash\!\!\!{ 3} \cdot \alpha \cdot (\, T_2 -T_1\,) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta V = 4\,\pi \cdot R^{3} \cdot \alpha \cdot (\, T_2 -T_1\,) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta V = 4\,\pi \cdot (\,10\,)^{3} \cdot 23\cdot 10^{-6} \cdot (\, 100 -0\,) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta V = 4\,\pi \cdot 10^3 \cdot 23\cdot 10^{-6} \cdot 10^2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta V = 92 \cdot \pi \cdot 10^{-1} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta V \approx 28{,} 90\; cm^3 } $ }[/tex]
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