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Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces.

Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura em centímetro, igual a:
a) 5 - √91 /2
b) 10 - √91
c) 1
d) 4
e) 5

Para Decorar Uma Mesa De Festa Infantil Um Chefe De Cozinha Usará Um Melão Esférico Com Diâmetro Medindo 10cm O Qual Servirá De Suporte Para Espetar Diversos Do class=

Sagot :

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Vamos analisar a situação:

1. Geometria do problema:

O melão é uma esfera de diâmetro 10 cm, portanto, raio R = 5 cm.

A calota a ser retirada é uma esfera menor, de raio r = 3 cm (pelo menos).

A altura da calota é h.

2. Relações importantes:

Teorema de Pitágoras: No triângulo retângulo formado pelo centro da esfera, o centro da seção circular e um ponto na borda da seção, temos: R² = r² + (R - h)²

Área da calota esférica: A = 2πRh

3. Objetivo:

Maximizar a área A da calota.

Respeitar a restrição r ≥ 3 cm.

4. Resolução:

Substituindo R = 5 cm e r = 3 cm no Teorema de Pitágoras:

5² = 3² + (5 - h)²

25 = 9 + 25 - 10h + h²

h² - 10h + 9 = 0

(h - 1)(h - 9) = 0

As soluções possíveis são h = 1 cm ou h = 9 cm.  Como a altura da calota não pode ser maior que o raio da esfera (5 cm), descartamos h = 9 cm.

Portanto, a altura ideal da calota é h = 1 cm.

Resposta:

A alternativa correta é a (c) 1.

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A partir dos devidos cálculos realizados, chegamos na conclusão de que o valor da altura da calota é de 1 centímetro. E tendo alternativa correta é a letra C.

O teorema de Pitágoras é a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa.

[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ a^{2} = b^{2} + c^{2} } $ }}[/tex]

Dados fornecidos pelo enunciado:

Resolução:

O diâmetro da esfera mede 10 cm, logo o seu raio é 5 cm, logo, OB = 5 cm.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABO, temos:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ (\, AO\,)^2 + (\, AB\,)^2 =(\, OB\,)^2 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x^{2} + 3^{2} = 5^{2} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x^{2} + 9 = 25 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x^{2} = 25 - 9 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x^{2} = 16 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x = \pm \; \sqrt{16} \; , com ~ x > 0 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x = 4 \; cm } $ }[/tex]

Basta aplicar na fórmula de h, temos:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ h + AO = OB } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ h + 4 = 5 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ h = 5 - 4 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ h = 1 \; cm } $ }[/tex]

Portanto, o valor da altura da calota é de 1 centímetro.

Alternativa correta é a letra C.

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