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Um objeto se move ao longo de uma reta de forma que sua velocidade instantânea é dada porVt) = 3x² + 2x - 2 medida em metros por segundo. Qual a distância percorrida pelo objeto durante o período 0 ≤ x ≤ 2?
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ Dist\hat{a}ncia:\int\limits^{x_2}_{x_1} |\,V(\, x \,) \, | \, dx } $ }[/tex]
Após a realização dos cálculos fornecidos pelo enunciado concluímos que a distância percorrida pelo objeto durando o período foi de 8 metros.
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf V(\, t\,) = 3x^{2} +2x - 2 \\ \\ \sf \int\limits^{x_2}_{x_1} |\,V(\, x \,) \, | \, dx \\ \\ \sf D = \:?\: m \end{cases} } $ }[/tex]
Resolução:
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int\limits^{x_2}_{x_1} |\,V(\, x \,) \, | \, dx = \int\limits^{2}_{0} |\, 3x^{2} +2x-2\, | \, dx } $ }[/tex]
Resolvendo primeiro pela integral indefinida, temos:
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int (\, 3x^{2} +2x -2 \;) \, dx = \int 3x^{2} \, dx +\int 2x \,dx - \int 2\, dx } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int (\, 3x^{2} +2x -2 \;) \, dx = 3\int x^{2} \, dx +2\int x \,dx - 2\int \, dx } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int (\, 3x^{2} +2x -2 \;) \, dx = 3 \cdot \dfrac{x^{2+1} }{2+1} +2 \cdot \dfrac{ x^{1+1} }{1+1} - 2 \cdot \dfrac{ x^{0+1} }{0+1} +C } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int (\, 3x^{2} +2x -2 \;) \, dx = 3 \cdot \dfrac{x^{3} }{3} +2 \cdot \dfrac{ x^{2} }{2} - 2 \cdot \dfrac{ x^{1} }{1} + C } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int (\, 3x^{2} +2x -2 \;) \, dx = \backslash\!\!\!{3} \cdot \dfrac{x^{3} }{\backslash\!\!\!{3}} +\backslash\!\!\!{ 2} \cdot \dfrac{ x^{2} }{\backslash\!\!\!{2}} - 2 x + C } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int (\, 3x^{2} +2x -2 \;) \, dx = x^{3} +2x^{2} - 2 x + C } $ }[/tex]
Aplicando na integral definida, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ D = \int\limits^2_0(\, 3x^{2} +2x -2 \;) \, dx = [x^{3} +x^{2} -2x ]^2_0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{D = (\, 2^{3} + 2^{2} - 2 \cdot 2 \,) - (\, 0^{3} - 0^{2} -2\cdot 0 \,) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ D = (\, 8 +4 - 4 \,) - (\, 0 + 0 -0\,) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ D = (\, 8 +0 \,) -0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ D = 8 \; m } $ }[/tex]
Portanto, a distância percorrida pelo objeto durando o período foi de 8 metros.
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