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Sagot :
1. Determinando o Termo Geral das Sucessões
a) 1, 3, 5, 7, 9, ...
Analisando a sucessão, podemos observar que cada termo é obtido pela adição de 2 ao termo anterior.
Fórmula do Termo Geral de uma Progressão Aritmética:
a_n = a_1 + d(n - 1)
Onde:
a_n: Termo na posição n
a_1: Primeiro termo
d: Razão (diferença entre os termos consecutivos)
No caso dessa sucessão:
a_1 = 1 (primeiro termo é 1)
d = 2 (a diferença entre os termos consecutivos é 2)
Substituindo na fórmula:
a_n = 1 + 2(n - 1)
b) 2, 6, 10, 14, ...
Novamente, observamos que cada termo é obtido pela adição de 4 ao termo anterior.
Utilizando a fórmula da Progressão Aritmética:
a_n = 2 + 4(n - 1)
c) -2, 5, -8, 11, -14, ...
Nessa sucessão, cada termo é obtido pela alternância de adição e subtração de 7 ao termo anterior.
Termos ímpares: Somamos 7
Termos pares: Subtraímos 7
Primeiro Termo Ímpar: a_1 = -2
Primeiro Termo Par: a_2 = 5
Fórmula para Termos Ímpares (n ímpar):
a_{2n - 1} = -2 + 7(n - 1)
Fórmula para Termos Pares (n par):
a_{2n} = 5 - 7(n - 1)
2. Calculando os 5 Primeiros Termos da Sucessão
Dado o termo geral da sucessão b_n = (n + 1) × (-1)^n:
Primeiro Termo:
Substituindo n = 1 na fórmula:
b_1 = (1 + 1) × (-1)^1 = 0
Segundo Termo:
Substituindo n = 2 na fórmula:
b_2 = (2 + 1) × (-1)^2 = -3
Terceiro Termo:
Substituindo n = 3 na fórmula:
b_3 = (3 + 1) × (-1)^3 = -4
Quarto Termo:
Substituindo n = 4 na fórmula:
b_4 = (4 + 1) × (-1)^4 = 5
Quinto Termo:
Substituindo n = 5 na fórmula:
b_5 = (5 + 1) × (-1)^5 = -6
Os 5 primeiros termos da sucessão são: 0, -3, -4, 5, -6.
3. Encontrando o 130º Termo da Sucessão
Dado o termo geral da sucessão C_n = (2^(n-1))/(n+2):
Para encontrar o 130º termo (n = 130), basta substituir n = 130 na fórmula:
C_130 = (2^(130-1))/(130+2) = 2^129 / 132
Observação: O cálculo do valor de C_130 pode ser complexo. É recomendável o uso de calculadoras científicas ou softwares matemáticos para obter o resultado preciso.
4. Determinando a Ordem do Termo 13/15 na Sucessão
Dado o termo geral da sucessão b_n = (13)/(n+1), queremos determinar a ordem (n) do termo 13/15.
Substituindo b_n por 13/15 na fórmula:
13/(n+1) = 13/15
Multiplicando ambos os lados por (n + 1):
13 = 13/15 * (n + 1)
Resolvendo para n:
n = (13 * 15) / 13 - 1
n = 15 - 1
n = 14
III. EXERCÍCIOS PROPOSTOS (continuação)
5. Estudando a Monotonia das Sucessões
A monotonia de uma sucessão determina se seus termos aumentam (crescente), diminuem (decrescente) ou se alternam entre aumento e diminuição.
a) a_n = (n + 1)/(n^2)
Para analisar a monotonia, podemos verificar o sinal da derivada da função que define a sucessão (a_n(x)).
Derivando a_n(x) = (x + 1)/(x^2):
a_n'(x) = (1 - x^2) / (x^3)
Analisando o sinal da derivada:
a_n'(x) > 0 para x < -1 e x > 1
a_n'(x) < 0 para -1 < x < 1
Como a derivada é positiva em intervalos que não incluem o ponto x = 0 (primeiro termo), a sucessão não pode ser estritamente crescente nem estritamente decrescente.
Para x < -1 (n < -1), a derivada é positiva, indicando possível crescimento inicial.
Para -1 < x < 1 (-1 < n < 1), a derivada é negativa, indicando possível decréscimo.
Para x > 1 (n > 1), a derivada é positiva, indicando possível crescimento posterior.
Conclusão: A sucessão a_n pode ter comportamento oscilante, crescendo inicialmente, depois decrescendo e voltando a crescer. Uma análise mais detalhada é necessária para determinar o comportamento exato.
b) a_n = (2, 5, 8, 11, ...)
Observando a sucessão, percebemos que cada termo é 3 a mais que o anterior. Logo, a sucessão é:
Crescentes: A diferença entre os termos é sempre positiva, indicando crescimento contínuo.
c) b_n = (17, 14, 11, 8, 5, 5, ...)
Analisando a sucessão, vemos que ela decresce até o quinto termo (5) e se torna constante a partir dali.
Inicialmente decrescente: A diferença entre os termos até o quinto é negativa, indicando decréscimo.
Eventualmente constante: A partir do sexto termo, a diferença entre os termos é zero, tornando a sucessão constante.
d) C_n = (n + 3)/(n + 1)
Para analisar a monotonia, podemos novamente verificar o sinal da derivada da função que define a sucessão (C_n(x)).
Derivando C_n(x) = (x + 3)/(x + 1):
C_n'(x) = (2) / ((x + 1)^2)
Como a derivada é sempre positiva (a função é do tipo racional positivo), a sucessão é:
Crescentes: A derivada positiva indica crescimento contínuo.
e) d_n = 2 + 1/n
Para analisar a monotonia, vamos verificar o sinal da derivada da função que define a sucessão (d_n(x)).
Derivando d_n(x) = 2 + 1/x^2:
d_n'(x) = -2 / (x^3)
A derivada é negativa para todo x positivo (n positivo).
Como a derivada é negativa em todo o intervalo relevante (n positivo), a sucessão é:
Decrescente: A derivada negativa indica decréscimo contínuo.
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