Para resolver o exercício de matrizes, vamos determinar a matriz \( X \) para cada um dos três casos fornecidos.
Dados:
[tex]\[ A = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \][/tex]
a. [tex]\( X = 2A - 3B \)[/tex]
Primeiro, vamos calcular [tex]\( 2A \)[/tex] e [tex]\( 3B \):[/tex]
[tex]\[ 2A = 2 \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 2 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} \][/tex]
Como \( B \) é uma matriz 3x1 e \( A \) é uma matriz 2x2, a operação \( 3B \) não é possível diretamente. Parece haver um erro na questão, pois não é possível subtrair \( 3B \) de [tex]\( 2A \)[/tex] devido às dimensões incompatíveis.
b. [tex]\( X + A = B - C^t - 2X \)[/tex]
Primeiro, vamos calcular [tex]\( B - C^t \):[/tex]
[tex]\[ C^t = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \][/tex]
[tex]\[ B - C^t = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} \][/tex]
Reorganizando a equação para encontrar \( X \):
[tex]\[ X + A = B - C^t - 2X \]\[ X + A + 2X = B - C^t \]\[ 3X = B - C^t - A \]\[ X = \frac{1}{3} (B - C^t - A) \][/tex]
Substituindo os valores:
[tex]\[ A = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \]\[ B - C^t = \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} \][/tex]
O problema novamente parece conter um erro dimensional, pois as dimensões de \( B \) e \( C^t \) não são compatíveis com \( A \) para esta operação.
c. [tex]\( X + B^t = 3A^t + \frac{1}{2}C \)[/tex]
Primeiro, vamos calcular [tex]\( 3A^t \) e \( \frac{1}{2}C \):[/tex]
[tex]\[ A^t = \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \][/tex]
[tex]\[ 3A^t = 3 \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & -3 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \][/tex]
[tex]\[ \frac{1}{2}C = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 & -1 & 0.5 \end{bmatrix} \][/tex]
Reorganizando a equação para encontrar \( X \):
[tex]\[ X + B^t = 3A^t + \frac{1}{2}C \][/tex]
[tex]\[ B^t = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \][/tex]
[tex]\[ X = 3A^t + \frac{1}{2}C - B^t \][/tex]
Substituindo os valores:
[tex]\[ X = \begin{bmatrix} 15 & -3 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.5 & -1 & 0.5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \][/tex]
Novamente, há um problema dimensional, pois não é possível somar/subtrair essas matrizes diretamente.
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Parece haver inconsistências nos enunciados dos problemas, principalmente em termos de dimensões das matrizes. Para resolver corretamente, todos os termos nas equações precisam ter as mesmas dimensões. Recomendo revisar a questão para garantir que todas as matrizes e operações são compatíveis em termos de suas dimensões.
