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Sagot :
Vamos analisar cada um dos requisitos (massa máxima e resistência à tração) para determinar qual dos materiais disponíveis (aço ou alumínio) atende aos critérios.
a) Requisito de Massa Máxima
A massa [tex]\( m \)[/tex] de um objeto pode ser calculada pela fórmula:
[tex]\[ m = \rho V \][/tex]
onde:
- [tex]\(\rho\)[/tex] é a densidade do material.
- [tex]\(V\)[/tex] é o volume do objeto.
O volume \( V \) de um cilindro é dado por:
[tex]\[ V = \pi r^2 h \][/tex]
onde:
- [tex]\( r \)[/tex] é o raio do cilindro.
- [tex]\( h \)[/tex] é a altura (comprimento) do cilindro.
Para o eixo cilíndrico:
- Diâmetro = 15 mm, então o raio[tex]\( r = \frac{15}{2} = 7.5 \) mm = 0.0075 m.[/tex]
- Comprimento [tex]\( h = 50 \) mm = 0.05 m.[/tex]
Calculando o volume:
[tex]\[ V = \pi (0.0075)^2 (0.05) \approx 8.84 \times 10^{-6} \, \text{m}^3 \][/tex]
Agora, calculamos a massa para cada material:
Aço:
- Densidade [tex]\( \rho_[/tex] aço = 7870 kg/m³
[tex]\[ m_{\text{}}[/tex] = aço [tex]= 7870 \times 8.84 \times 10^{-6} \approx 69.6 \, \text{g}[/tex]
Alumínio:
- Densidade [tex]\( \rho_{\text{alumínio}} = 2700 \)[/tex] kg/m³
[tex]\[ m_{\text{alumínio}} = 2700 \times 8.84 \times 10^{-6} \approx 23.9 \, \text{g} \][/tex]
Conclusão para o requisito de massa:
Ambos os materiais atendem ao requisito de massa máxima de 100 gramas, pois as massas calculadas (69.6 g para o aço e 23.9 g para o alumínio) são inferiores a 100 g.
b) Requisito Mecânico
A resistência à tração [tex]\( \sigma \)[/tex] pode ser calculada pela fórmula:
[tex]\[ \sigma = \frac{F}{A} \][/tex]
onde:
- [tex]\( F \)[/tex] é a força aplicada.
- [tex]\( A \)[/tex] é a área da seção transversal do cilindro.
A área da seção transversal [tex]\( A \)[/tex] é dada por:
[tex]\[ A = \pi r^2 \][/tex]
Para o eixo cilíndrico:
[tex]\[ A = \pi (0.0075)^2 \approx 1.767 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 \][/tex]
A força trativa aplicada é de 100 kN = 100,000 N.
Calculamos a tensão para essa força:
[tex]\[ \sigma = \frac{100,000}{1.767 \times 10^{-4}} \approx 566 \, \text{MPa} \][/tex]
Agora, comparamos essa tensão com a resistência à tração dos materiais:
Aço:
- Resistência à tração [tex]\( \sigma_[/tex] aço = 650 MPa
- Como 566 MPa < 650 MPa, o aço atende ao requisito de resistência à tração.
Alumínio:
- Resistência à tração [tex]\( \sigma_[/tex] alumínio = 48 MPa
- Como 566 MPa > 48 MPa, o alumínio não atende ao requisito de resistência à tração.
Conclusão para o requisito mecânico:
Apenas o aço atende ao requisito de resistência à tração de 100 kN.
Resumo:
- Requisito de massa máxima: Ambos os materiais (aço e alumínio) atendem.
- Requisito mecânico: Somente o aço atende.
Portanto, o material que atende a ambos os requisitos é o aço.
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