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Um componente de uma bicicleta profissional para competições consiste em um eixo cilíndrico de diâmetro 15 mm, com comprimento de 50 mm. O critério estabelecido para o projeto é que o eixo deverá apresentar uma massa de no máximo 100 gramas, e suportar uma força trativa de 100 kN. Os materiais disponíveis para a fabricação do eixo são: Aço (Resistência à tração: 650 MPa; densidade: 7870 kg/m3). Alumínio (Resistência à tração: 48 MPa; densidade: 2700 kg/m3). A partir desses dados, responda aos seguintes questionamentos: a) Qual(is) material(is) atende(m) ao requisito de massa máxima? Justifique. b) Qual(is) material(is) atende(m) ao requisito mecânico? Justifique.

Sagot :

Vamos analisar cada um dos requisitos (massa máxima e resistência à tração) para determinar qual dos materiais disponíveis (aço ou alumínio) atende aos critérios.

a) Requisito de Massa Máxima

A massa [tex]\( m \)[/tex] de um objeto pode ser calculada pela fórmula:

[tex]\[ m = \rho V \][/tex]

onde:

  • [tex]\(\rho\)[/tex] é a densidade do material.
  • [tex]\(V\)[/tex] é o volume do objeto.

O volume \( V \) de um cilindro é dado por:

[tex]\[ V = \pi r^2 h \][/tex]

onde:

  • [tex]\( r \)[/tex] é o raio do cilindro.
  • [tex]\( h \)[/tex] é a altura (comprimento) do cilindro.

Para o eixo cilíndrico:

  • Diâmetro = 15 mm, então o raio[tex]\( r = \frac{15}{2} = 7.5 \) mm = 0.0075 m.[/tex]
  • Comprimento [tex]\( h = 50 \) mm = 0.05 m.[/tex]

Calculando o volume:

[tex]\[ V = \pi (0.0075)^2 (0.05) \approx 8.84 \times 10^{-6} \, \text{m}^3 \][/tex]

Agora, calculamos a massa para cada material:

Aço:

- Densidade [tex]\( \rho_[/tex] aço = 7870 kg/m³

[tex]\[ m_{\text{}}[/tex] = aço [tex]= 7870 \times 8.84 \times 10^{-6} \approx 69.6 \, \text{g}[/tex]

Alumínio:

  • Densidade [tex]\( \rho_{\text{alumínio}} = 2700 \)[/tex] kg/m³

[tex]\[ m_{\text{alumínio}} = 2700 \times 8.84 \times 10^{-6} \approx 23.9 \, \text{g} \][/tex]

Conclusão para o requisito de massa:

Ambos os materiais atendem ao requisito de massa máxima de 100 gramas, pois as massas calculadas (69.6 g para o aço e 23.9 g para o alumínio) são inferiores a 100 g.

b) Requisito Mecânico

A resistência à tração [tex]\( \sigma \)[/tex] pode ser calculada pela fórmula:

[tex]\[ \sigma = \frac{F}{A} \][/tex]

onde:

  • [tex]\( F \)[/tex] é a força aplicada.

  • [tex]\( A \)[/tex] é a área da seção transversal do cilindro.

A área da seção transversal [tex]\( A \)[/tex] é dada por:

[tex]\[ A = \pi r^2 \][/tex]

Para o eixo cilíndrico:

[tex]\[ A = \pi (0.0075)^2 \approx 1.767 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 \][/tex]

A força trativa aplicada é de 100 kN = 100,000 N.

Calculamos a tensão para essa força:

[tex]\[ \sigma = \frac{100,000}{1.767 \times 10^{-4}} \approx 566 \, \text{MPa} \][/tex]

Agora, comparamos essa tensão com a resistência à tração dos materiais:

Aço:

  • Resistência à tração [tex]\( \sigma_[/tex] aço = 650 MPa
  • Como 566 MPa < 650 MPa, o aço atende ao requisito de resistência à tração.

Alumínio:

  • Resistência à tração [tex]\( \sigma_[/tex] alumínio = 48 MPa

 - Como 566 MPa > 48 MPa, o alumínio não atende ao requisito de resistência à tração.

Conclusão para o requisito mecânico:

Apenas o aço atende ao requisito de resistência à tração de 100 kN.

Resumo:

  • Requisito de massa máxima: Ambos os materiais (aço e alumínio) atendem.
  • Requisito mecânico: Somente o aço atende.

Portanto, o material que atende a ambos os requisitos é o aço.