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Sagot :
Problema: Mistura de Sucos
Dois amigos, João e Maria, adoram preparar sucos deliciosos para vender na feira. Eles têm receitas especiais para três tipos de sucos:
Suco de Laranja: 2 partes de laranja para 1 parte de água.
Suco de Abacaxi: 3 partes de abacaxi para 2 partes de água.
Suco de Manga: 1 parte de manga para 1 parte de água.
Em um dia especial, João e Maria querem preparar uma grande quantidade de suco para atender a um grande pedido. Eles têm as seguintes quantidades de frutas disponíveis:
Laranjas: 40 unidades
Abacaxis: 30 unidades
Mangas: 20 unidades
Desafio: Determine quantas unidades de cada tipo de suco João e Maria podem preparar com as frutas disponíveis, utilizando matrizes para otimizar a resolução do problema.
Resolução:
Etapa 1: Definindo as Variáveis
Vamos representar as quantidades de suco de cada tipo por variáveis:
x: Quantidade de suco de laranja (em unidades)
y: Quantidade de suco de abacaxi (em unidades)
z: Quantidade de suco de manga (em unidades)
Etapa 2: Representando as Restrições
As restrições do problema podem ser expressas pelas seguintes equações:
Laranjas: 2x unidades de suco de laranja consomem 2x unidades de laranjas. Como há 40 laranjas disponíveis, temos a restrição: 2x ≤ 40
Abacaxis: 3y unidades de suco de abacaxi consomem 3y unidades de abacaxis. Como há 30 abacaxis disponíveis, temos a restrição: 3y ≤ 30
Mangas: 1z unidade de suco de manga consome 1z unidade de manga. Como há 20 mangas disponíveis, temos a restrição: z ≤ 20
Etapa 3: Otimizando a Produção
O objetivo é maximizar a quantidade total de suco produzida (x + y + z), ou seja, encontrar os valores de x, y e z que satisfaçam as restrições e maximizem a função objetivo:
Função Objetivo: f(x, y, z) = x + y + z
Etapa 4: Resolvendo o Sistema de Inequações
O problema pode ser resolvido graficamente ou utilizando métodos algébricos de otimização, como programação linear. Para esta resposta, utilizaremos um método gráfico:
Gráfico das Restrições:
Plotar as linhas das restrições 2x ≤ 40, 3y ≤ 30 e z ≤ 20 no plano cartesiano.
O triângulo formado pela intersecção dessas linhas representa a região de soluções válidas.
Pontos Extremos:
Identificar os pontos extremos do triângulo: (0, 0), (20, 0), (0, 10), (10, 6.67), (6.67, 10).
Avaliação da Função Objetivo:
Calcular o valor da função objetivo f(x, y, z) para cada ponto extremo.
O ponto que maximiza f(x, y, z) indica a produção máxima de suco.
Etapa 5: Resultado
Após analisar os pontos extremos e calcular a função objetivo para cada um, o ponto que maximiza a produção de suco é (6.67, 10). Ou seja, João e Maria podem preparar:
6.67 unidades de suco de laranja (x = 6.67)
10 unidades de suco de abacaxi (y = 10)
20 unidades de suco de manga (z = 20)
Conclusão:
Utilizando matrizes para representar as restrições e a função objetivo, João e Maria podem determinar a quantidade ideal de cada tipo de suco a ser preparado para maximizar a produção e atender ao pedido da feira. Essa abordagem matemática otimiza o uso das frutas disponíveis e garante a produção máxima de suco.
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