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(Tarefa— 60907101)
Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de fatoração que x²-ax+3xy-3ay=138✅
Dado o polinômio x²-ax+3xy-3ay, determine sua forma fatorada e o valor numérico da expressão obtida, sabendo que x-a=6 e x+3y=23.
Fatorar um polinômio é escrevê-lo como multiplicação de dois ou mais polinômios. Existem vários casos de fatoração, contudo por uma questão didática, vamos elucidar os casos mais recorrentes e que serão necessários a resolução dos exercícios aqui a serem desenvolvidos.
Consiste em colocar o maior divisor comum (mdc) dos números e o selecionar as variáveis de menor expoente para colocá-los em evidência e escrever a forma fatorada do mesmo.
exemplo: 6x²+4x³ =2x²(3+2x)
É o caso em que temos um polinômio que à primeira vista não apresenta um fator comum a todos. Neste caso separamos o polinômio em grupos, colocamos o fator comum em evidência em cada um deles e por fim colocando novamente o fator comum fatoramos o polinômio.
exemplo:
[tex]\rm \underbrace{\rm ax+bx}_{1^ o\,grupo}+\underbrace{\rm ay+by}_{2^o\,grupo}\\\rm x\cdot\underbrace{\rm (a+b)}_{ fator\,comum}+y\cdot\underbrace{\rm (a+b)}_{fator\,comum} \\\bf {(a+b)}\cdot\rm{(x+y)}\longrightarrow\,forma\,fatorada[/tex]
Toda diferença de dois quadrados resulta no produto da soma pela diferença de dois termos. Para isso extraímos a raiz quadrada de cada termo e escrevemos o resultado como produto da soma pela diferença.
exemplo:
[tex]\rm 25x^6-36y^4\\\rm\sqrt{25x^6}=5x^3~~\sqrt{36y^4}=6y^2\\\rm 25x^6-49y^4=(5x^3+6y^2)\cdot(5x^3-6y^2)[/tex]
Um trinômio é dito quadrado perfeito quando possui três termos além de dois termos possuírem raiz quadrada exata. O produto destas raízes por 2 deve resultar ao termo central . Para descobrir cada termo extraímos a raiz quadrada exata de cada termo e multiplicamos o resultado por 2 para averiguar se é ou não quadrado perfeito.
exemplos:
[tex]\rm x^2+4x+4\\\rm\sqrt{x^2}=x~~\sqrt{4}=2\\\rm 2\cdot x\cdot 2=4x\checkmark\\\rm x^2+4x+4=(x+2)^2\\\\\rm x^2-16x+64\\\rm \sqrt{x^2}=x~~\sqrt{64}=8\\\rm 2\cdot x\cdot8=16x\\\rm x^2-16x+64=(x-8)^2[/tex]
Aqui vamos utilizar a fatoração por agrupamento e depois calcular a expressão.
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf x^2-ax+3xy-3ay\\\sf =x\cdot(x-a)+3y\cdot(x-a)\\\sf= (x-a)\cdot (x+3y)\\\sf x^2-ax+3xy-3ay=6\cdot23\\\sf x^2-ax+3xy-3ay=138\end{array}}}[/tex]
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