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Considere a função matemática f(x) definida como:
f(x) = (x^2 + 1) / (x * g(x)), onde g(x) é outra função definida como:
g(x) = lim (n -> infinito) [1 + (1/n^2) + (1/n^4) +. + (1/n^(2k))], onde k é um número inteiro positivo.
1. Qual é o valor de f(0)? É possível calcular esse valor diretamente? Por quê?
2. Se x ≠ 0, podemos reescrever a função f(x) como:
f(x) = 1 + (1/x) + (1/x^2) +. + (1/x^(2k-1)) + (h(x) / x^(2k)), onde h(x) é uma nova função. Qual é a expressão de h(x)?
3-. Demonstre que, para qualquer valor de x ≠ 0, a função f(x) converge para um valor finito. Qual é esse valor?
4. O que acontece com a função f(x) quando x se aproxima de 0? É possível determinar o limite de f(x) quando x tende a 0? Por quê?
5. A função f(x) possui alguma relação com a série de Taylor de alguma função conhecida? Se sim, qual é essa relação?
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