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Sagot :
Resposta:
Vamos resolver o problema passo a passo.
### Parte (a)
#### (i) Usando a Definição 1
A Definição 1 da derivada é o limite da diferença quociente:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]
Para a função \( y = f(x) = x - x^3 \), precisamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto \((1, 0)\).
Substituindo \( f(x) = x - x^3 \) na definição:
\[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h) - (1+h)^3 - (1 - 1^3)}{h} \]
Expandindo e simplificando:
\[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h) - \left(1 + 3h + 3h^2 + h^3\right) - 1}{h} \]
\[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1 + h - 1 - 3h - 3h^2 - h^3}{h} \]
\[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{h - 3h - 3h^2 - h^3}{h} \]
\[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{-2h - 3h^2 - h^3}{h} \]
\[ f'(1) = \lim_{h \to 0} (-2 - 3h - h^2) \]
\[ f'(1) = -2 \]
Então, a inclinação da reta tangente usando a definição é \(-2\).
#### (ii) Usando a Equação 2
A Equação 2 refere-se à regra de diferenciação padrão. Derivamos a função \( y = x - x^3 \) diretamente:
\[ \frac{dy}{dx} = 1 - 3x^2 \]
Para encontrar a inclinação no ponto \((1, 0)\), substituímos \( x = 1 \):
\[ \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=1} = 1 - 3(1)^2 \]
\[ \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=1} = 1 - 3 \]
\[ \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=1} = -2 \]
Então, a inclinação da reta tangente usando a regra de diferenciação padrão é \(-2\).
### Parte (b)
A equação da reta tangente pode ser escrita na forma ponto-inclinação:
\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]
Onde \((x_1, y_1)\) é o ponto de tangência e \( m \) é a inclinação. No nosso caso, \((x_1, y_1) = (1, 0)\) e \( m = -2 \):
\[ y - 0 = -2(x - 1) \]
\[ y = -2x + 2 \]
Então, a equação da reta tangente é \( y = -2x + 2 \).
### Parte (c)
Vamos criar um gráfico da curva \( y = x - x^3 \) e da reta tangente \( y = -2x + 2 \) centrado no ponto \((1, 0)\) com janelas retangulares cada vez menores até que a curva e a tangente pareçam indistinguíveis.
Aqui está a imagem que eu gerei para você:
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