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Resposta:
A) Para calcular o número de bactérias existentes em 3 horas, podemos usar a fórmula do juro composto, já que a cultura de bactérias aumenta 10% a cada hora.
A fórmula para o juro composto é:
\[ A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \]
Onde:
A = montante final
P = montante inicial
r = taxa de aumento (em %)
n = número de períodos
Para o caso das bactérias, podemos utilizar:
P = 150 (número inicial de bactérias)
r = 10% (ou 0,10, em forma decimal)
n = 3 (número de horas)
Portanto, temos:
\[ A = 150 \left(1 + \frac{0,10}{1}\right)^3 \]
\[ A = 150 \times 1,10^3 \]
\[ A = 150 \times 1,331 \]
\[ A = 199,65 \]
Portanto, aproximadamente 199 bactérias existirão em 3 horas.
B) Agora, para calcular ao fim de quanto tempo o número de bactérias terá triplicado, precisamos encontrar o valor de n na fórmula do juro composto. Podemos usar a fórmula:
\[ A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \]
Onde:
A = montante final (triplo do montante inicial)
P = montante inicial
r = taxa de aumento (em %)
n = número de períodos
Dessa vez, A será 3P, já que queremos o triplo do montante inicial. Então, a equação fica:
\[ 3P = P \left(1 + \frac{0,10}{1}\right)^n \]
Podemos simplificar e isolar o n:
\[ 3 = 1,10^n \]
Tomando logaritmo em ambos os lados, temos:
\[ log(3) = n \times log(1,10) \]
\[ n \approx \frac{log(3)}{log(1,10)} \]
\[ n \approx \frac{0,477}{0,041} \]
\[ n \approx 11,63 \]
Portanto, ao fim de aproximadamente 12 horas, o número de bactérias terá triplicado.